《2.2.2 双曲线的简单几何性质》同步练习

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1、《2.2.2双曲线的简单几何性质》同步练习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)．A．4B．3C．2D．1解析　双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，又a>0，∴a＝2.答案　C2．00，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.所以两双曲线有相同的焦点．答案　D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的

2、倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)．A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又a＝2，且a2＋b2＝c2，∴a＝2，b＝2.答案　B4．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.解析　双曲线焦点在x轴上，则4－a2＝a2＋1，得a2＝，∴a＝±.答案　±5．双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，则双曲线的离心率e＝________.　解析　若焦点在x轴上，则＝，e＝＝；若焦点在y轴上，则＝，e＝＝.答案　或6．根据下列条件，求双曲

3、线的标准方程．(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0，6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.解　　　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<

4、－5

5、，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由解得故所求的双曲线方程为－＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且

6、OP

7、＝6，所以2c＝

8、F1F2

9、＝2

10、OP

11、＝12，所以c＝6.又P与两顶点连线夹角为，所以a＝

12、OP

13、·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.故所求

14、的双曲线方程为－＝1.7．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为(　　)．A.B.C．2D．2解析　由渐近线方程y＝±x，得m＝5.则焦点F(，0)到y＝x的距离d＝.答案　A8．若双曲线C：x2－＝1(b＞0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e＝(　　)．A．2B.C．3D.解析　顶点为(1，0)，渐近线为y＝±bx，则d＝＝，∴b＝1，∴e＝.答案　B9．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．解析　依题意，设双曲线的方程

15、x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求，得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案　－＝110．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则

16、PF

17、＋

18、PA

19、的最小值为________．解析　设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知，

20、PF

21、＝2a＋

22、PF1

23、＝4＋

24、PF1

25、，所以当满足

26、PF1

27、＋

28、PA

29、最小时就满足

30、PF

31、＋

32、PA

33、取最小值．由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足

34、PF1

35、＋

36、PA

37、最小．而

38、AF1

39、即为

40、PF1

41、＋

42、PA

43、的最小值，

44、AF1

45、＝

46、5，故所求最小值为9.答案　911．如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．解　法一　设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，则－＝1，解得y0＝±.∴

47、PF2

48、＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，

49、F1F2

50、＝

51、PF2

52、，即2c＝·，将c2＝a2＋b2代入，解得b2＝2a2，故＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.法二　设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，则－＝1，解得y0＝±.∴

53、P

54、F2

55、＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，

56、PF1

57、＝2

58、PF2

59、，由双曲线的定义可知

60、PF1

61、－

62、PF2

63、＝2a，得

64、PF2

65、＝2a，∵

66、PF2

67、＝，∴2a＝，即b2＝2a2.∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.12．(创新拓展)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．解　　由消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)(1)当1－k2＝0，即k

68、＝±1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．①即－