第七节　正弦定理、余弦定理应用举例

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1、第七节　正弦定理、余弦定理应用举例时间：45分钟　分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A．akmB.akmC.akmD．2akm解析　利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.答案　B2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度

2、沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)A．2kmB．3kmC．3kmD．2km解析　如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin30°＝3.答案　B3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15

3、海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　)A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里解析　设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝＝＝70.答案　D4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)A．20mB．20mC．20(1＋)mD．30m解析　如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20m，所以BM＝20

4、m．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝(m)．∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20(m)．答案　A5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A.B.C.D.解析　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝()2＋32－2××3×＝5，所以AC＝，再由正弦定理：sin∠BAC＝·BC＝＝.答案　C6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以

5、50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小(　　)A.B．1C.D．2解析　如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝时，DE最小．答案　C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知A，B两地的距离为10k

6、m，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.解析　如右图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10(km)．答案　108．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.解析　设航速为vnmile/h在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，

7、由正弦定理得：＝，∴v＝32(nmile/h)．答案　329．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10(米)．答案　10三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2014·

8、台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个