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1、三角形中的不等式证明策略涉及三角形的边、角、面积等关系的不等式的证明策略可借助正弦定理，余弦定理等等进行等价变换，从而将不等式证明.一.借助余弦定理及面积公式的变换策略例1在AABC中，证明:亍+戸+。2»4忌,其中S表示AABC的面积.（Weitzenbock不等式，第3届/M0试题）证明：由于S=—absinC,2于是，只需证：a2^b~-he2>2V3absinC,又/=a2+/?2-2ahcosC,于是2（a2+/?2）-2（7/?cosC>2y/3absinC,艮卩a2+b2>abcosC+^3absinC=2absin（C+—）,因为Ovs
2、in(C+兰)51,6所以原不等式成立.二.借助正弦定理及三角公式的变换策略例2在AABC中,ZC>60°,证明：（&+方）（丄+丄+-）>4+^-Qbcsin£2（1990年中国国家集训队选拔考试试题）证明：由正弦定理及三角公式，得(a+/?)(—+—+—)=(sinA+sinB)(H+)abcsinAsinBsinC小sin4+sinBsinBsinA=2+++sinCsinAsinB=4+(sinA-sinB)2+sinA+sinBsinAsinBsinC?A+jB.oA—B.A+BA—B8cos~sirr2sincos4_i22
3、22cos(A
4、-B)~cos(A+B)o.CC222A+B•2人一B8cossinl-2sin2^—2.Csin—222cos(A-B)+cosC1.csin2q•2C2A—B4厂8sin*-—cos—+2sin2-(2sirr2cos.c)sin2因为所以cos2A+B7i<<—222A+B.9C>cos~=sirr——22注意到ZC>60°，所以8sin3->1,2%士c・？C2A-B.A-B.A-B.A-B.C故有8sin一cos2>cos2>cos~>cos2sin~一244222(1)(2)(3)由⑵,⑶式,8sin2—cos2[221°A_B.2C.Cc
5、os~sin~—sin222>0,再代入（1）式，(Q+/?)(—+—+—)>4+abcsin—2三.借助三角恒等式的变换策略常用的三角恒等式，如在AABC中，ABBCCAAtan—tan—+tan—tan一+tan—tan—=1,222222cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1•例3在AABC中,证明:a2+//+c2>4y[3S+(a-h)2+(/?-c)2+(c-6z)2,其中S表示AABC的面积.（Finsler-Hadriger不等式）证明：原不等式可化为：f亡評+亡評沁,利用正切的半角公式，有Atan—=21_
6、sinA_/_(b-c)2_a2-(b-c)2sinA2bcsinA4S同理吨IF4SCtan——22-(a-b)2""45现只需证：tanA+tan
7、+tan在ABC中，有C~2.tan^tan-Atan—tan—+tan—tan2Atan—+tan—+tan——=222(tan乩越+览召2222A2B2C^AB^BC^CAtan—+tan—Ftan—f2tan—tan—+2tan—tan—F2tan—tan—222222222、，ABBCCABBCCAx>.(tan—tan—+tan—tan——Ftan—tan—)+2(tan—tan—+tan
8、—tan——Ftan一tan—)V2222222222223(tan^tan^+tan^tan£+tan£tanA)=73,222222原不等式成立.四.借助正弦定理和余弦定理的变换策略例4在AABC中，求证:JsinAsinBVsinBsinCVsinCsinA〉3羽~~C-+sin2Asin2Bsin2（2005年江苏省数学冬令营试题）证明：由正弦定理和余弦定理,得VsinAsinBVsinAsinB小C4abr———=2cos—=^2(1+cosC)si,"DC2c2』2ab+2cibcosC_J(q+b)，一c?J(d+b+c)(d+b・c)J
9、o+/?+c(a+b—c)由均值不等式，得c2(a^b-c)<[(+、+心-(、)]3=(£±^±£)3,33a+b+c所以JsinAsinB〉3般(。+/?-(?)sin-2同理VsinBsinC〉3^3(b-be-a).A~sin—2Bsin2VsinCsinA〉3品(c+a-b)a+b+c以上三个不等式相加，得VsinAsinB+VsingsinC+皿egn3屁Csin2Asm2Bsin-2五.借助三角不等式的变换策略常用的三角不等式，如:在ZVIEC中,31.cosA+cosB+cosC<—.2cABC、匚2L.tan—ftan—Ftan—、U
10、3•2223.cosA・cosBcosC5丄.8例5设a,b,c是AABC的三边，求证/(方+
