航天器相对运动的两点边界值问题解析解

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1、2011年10月中国空间科学技术25第5期ChineseSpaceScienceandTechnology航天器相对运动的两点边界值问题解析解苑云霞岳晓奎娄云峰(西北工业大学航天学院，西安710072)(西北工业大学计算机学院，西安710129)摘要针对无摄椭圆轨道，推导了表示真实相对位置速度的状态转移矩阵，进而推导出了相对运动两点边界值问题的一阶解析解。所得结果不仅可指定转移时间、还可在时间范围内进行全局的燃料优化或在时间和燃料两者闻折中；对于周期和非周期的相对运动均适用。仿真结果表明此解的归一化精度达到10一。进一步的仿真发现相对转移过程的燃料消耗会随目标轨道偏心率的增加而增加；

2、随长半轴的增加而减少；随初始真近点角的增加呈现周期性变化；随着转移时间增加，燃料消耗的总趋势是减少的。关键词椭圆轨道相对运动两点边界值相对Lambert问题燃料优化航天器DOI：10．3780／j．issn．1000—758X．2011．05．0041引言航天器绝对运动的两点边界值问题称作经典Lambert问题，可以表述为“确定一条轨道，使其具有指定的转移时间并连接两个位置矢量’，[1。。类似的，航天器相对运动的两点边界值问题，也称为相对Lambert问题，是指已知初始和终止的相对位置、时间，以及目标轨道，要求确定跟踪航天器的轨道。这类问题在航天器编队构形和编队轨道转移中有着广泛应用

3、。例如，为改变合成孔径望远镜的尺寸或者对偏离目标的编队轨道进行站位保持纠正都需要相对轨道转移技术，而为实现对航天器的观测将微卫星从航天器上发射也是这个问题的一个特例。Guibout和Scheeres应用哈密尔顿正则变换和动力学的生成函数来求解航天器编队的两点边界值问题以及编队动力学和设计‘2嵋]。理论上，他们的方法适合处理包括地球扁率在内的任意引力场问题，但是实际上，生成函数的泰勒级数展开求解起来相当复杂困难。文献[4—5]研究了无摄椭圆参考轨道的情况。文献[4]讨论了编队卫星轨道间两次脉冲优化转移的一阶近似问题，但仅限于周期性编队，对于如短时间的伴飞、近距操作等非周期性相对运动将不

4、再适用。文献[5]虽然对周期和非周期的相对Lambert问题都进行了研究，得到了一阶近似解，但未考虑初始和终止的相对速度，因而对于近距操作等一些在轨服务应用，不利于设计和控制转移后的相对运动状态。本文基于表示真实相对位置速度的状态转移矩阵，推导出相对两点边界值问题的一阶解析解。从而将文献[4]中的周期性编队转移优化问题扩展到非周期情况，并且可以设计和控制转移后的相对运动状态。国家自然科学基金(10772145)资助项目收稿日期：2010一II一04。收修改稿日期：2010—12—2726中国空间科学技术2011年10月2相对动力学模型定义参考系原点在目标质心0，Ox轴由地心指向目标质

5、心的方向，Oz轴指向轨道面的正法向方向，Oy轴与Ox、0z轴构成右手坐标系。本文是基于Lawden方程来研究相对两点边界值问题。Lawden方程是指在目标和航天器间距远小于目标半径的假设下，在目标当地垂直水平坐标系D—zy2下建立的相对运动线性方程Ⅲ。文献[7—8]通过微分变量代换得到了真近点角表示的方程解。定义状态矢量x=(z，Y，z，z7，Y7，27)T和相应的积分常数矢量D=(dt，dz，d。，d．，ds，de)1’，则有X(口)一o(口)D。其中，d；(i=l，2，⋯，6)表示方程解中的积分常数，8表示方程解中的真近点角。因为基本解矩阵痧(口)可逆，所以对于给定的初始真近点角

6、Oo，D—面(00)-1X(Oo)，从而得到状态转移方程x(日)----O(0)O(00)-1X(Oo)，矩阵M(O，岛)=①(口)o(00)_1就是角域内的状态转移矩阵。为使状态转移矩阵的形式简洁，定义如下符号：s=sinO，so=sin&，C=COSO，focoSOo，lD=ID(口)=(1+ecosO)，100=p(Oo)式中下标0表示变量的初始值；e表示目标轨道偏心率。则o(口)和西(00)-1分别为口(口)=o(00)一1一瞄2e2sH一既惜一C0ID2eHp5(1+1／p)i／p0sipc／p田2e2cH+es／p2s0一嚣2ec／pz一2e2sHc(1+I／p)+舀2／

7、p2es／pz0(e+c、)f孑一s／pz勋／e0CO／e0(1+印)pg／e2一如ID5／P0Sot《／eJD3／P20—2po／eso0一po／e0s。印(2+Po)／eC3(1+10D)一1o一旬席／PSopo(1+po)／e0so0copo0e+Co0一．gopo式中H一艄)2小／p3dO一(1《)-{×[等-(1w)SinE+2sinEcosE‰]，E是偏近点角，与0同象限，cosE=(e-q-c)／p，dH是从H(岛)一。计算出来的积分常量。3