2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

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1、中学数学研究年第期,,、,,点上命题立意较新颖重视知识的交叉渗透合运用知识的能力也有利于培养学生的创新强化知识的横向联系,突出对能力的考察,题目意识,使所学知识得以升华.构,,思精妙富有思考性培养学生善于把空间图参考文献,形转化为平面图形以及平面图形作合理的变,【1」各地高考卷和模拟卷其中例3的变式1是207,换想象成空间图形的能力有利于培养学生综年全国高中数学联赛填空题第9题..2008年高考江西卷压轴题的简解及推广江西东乡一中(331800)黎盟乐鹏宇一题已知函数f(二)十+1,一里一畏全+下兰兰二<2不妨设P)q):从而P+x+a1+r了1了1丫1丁

2、奋丫,,丈十,_,任(0一”、,丫1,1,了奢轰’田丁久`’<1由结论②得月了+r万而1,(1)当a二8时求f(x)的单调区间;1,1l,1二~,二二二二二二十十(2)对任意正数a,证明11时用两个正数的l1+1镇,了g:+g+:+1了算术平均值不小于几何平均值的性质来证体1下予,现了考试不超纲的知识要求但在证f(x)<2111十`一十一+1,a+a+a+、:

3、+2+l7示不丫+l时对b分b(7及b)7两种情形丫了石子示,,..,..,n、。曰作分类讨论技巧性极高这是一般考生难以在1`而``短时间想象得到的.本文以下第(2)问的证法分玩而下十毒万丽’`、qPr一“,以”爪,,析虽是新解但高中生也能理解现分析如下:一··`需证畏士二即证镇在证1护;2需说明一下即①若呀(0)则②若授即裔+222·,,,证(邝涯)成(涯a泊任(01)则a+占(1+ab实际上结论②+2授每即为(a一lb一1)>0所推得:。。山.。二。lt少)(,厂4涯小2~,先证f(x)>1

4、.由结论①得了r而)即vp夕-下田p夕`匆儿此八从,一,..++、、11立故不=<2即f(x)二二一此二’龚攀=’一f(x)夕长二一+升一+一二爷=居攀`’``J、`一一护一一l+xl+aaJ二+8一石孚了石马丫丁不千一。2x2+二2+。Zx+sx+s。+s+(。Zx+axZ+s)+3二<2,证毕.aZxZ+盯2+aZx+sx+sa+8+gax,十,对该题进一步探究发现将8改为2污由。Zx+,十8》3万丁石户万一6上r,2二夕石云二得则更靠近闪的下界故可将本题第()问的式右边)l,故f(x)>1.右半不等式进一步推广如下:,.,a,l、、再证f(x)<2设

5、P=x>0q二>0:推广1若正数xxZx3满足xlx2x3)8、八,,二·卜··一8则了(’<2骨21=ZU且闪r<2石态翩六六了1+x3年第期中学数学研究推广若正数、、一、任,1)当n二3时,由推广1知命题成立.nn,二,x,xZx,,n=kn=k+1且)3)满足…)2朽则2)假设时命题成立下证,:时命题成立由前结论②及归纳假设有n一艺

6、、一_幸套1+xlx21+吞刀万丫丫爱丫〕十乙“”+l,,一+n=+。,刁、、.1=kk121一a”,,_。,_L,,、1)故时命题成立由()~’,、.-、·“匕L”`”只场坷丁止狱xk、”二1)2)得推广2成立一蔽一,,、、、,,,lxZ:为了证明推广3再给出第三个结论即l2…nneN且牡》4)若x…x)(2,。x*xj均为正项数列{x二,结论③设}中的,+a4as…a。,1、朽)则有艺又”一`L”务,.71币哀两个最小项则了诬瓦镇石不于几妥二由.··4)一xx:一一`x*“蕊瓦户(。)(勺)簇。少推广1的证明分如下两步:(1)当xlxZx3月’`,,,

7、`,”2n一:+污时设二123则二l妻-一(“”两边开Z次方即得结论为孤万丽小③成立.1+污由前面证明f(x)<2的过程同样可得下面用数学归纳法证明当xlxZ`n2二Xa二,:+污)a4as…时推广3成立的情形,,i)当n=4时x,xZx3x;=(2+污)。4则一二墓一一+X3X4一2`由推广`”十XIX2很ō李瑞ù沂汗石倪4方器11、;、<工3xxl十2(其中为1+xZ一一御祝丫不丫普.1、、—下只要证十XZX3x4中较小者)丫1+x31—.1+x4故xlxZx3=2十污时成立丫,(2)当xlxZx3>2+污时设xlxZx3=(21,,+x3+污)a(a

8、>`)则xlx2()一2+朽由(`)丫1苦,镇:一+11知,故只要