07厦大《高数各专业》高代与近代

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1、厦门大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题招生专业：数学各专业考试科冃及代码：425综合基础II（A卷）研究方向：数学各专业各方向注意：答案必须标明题号、按序写在专用答题纸上，写在本试卷上或草稿纸上者一律不给分。本试题由三个部分组成：（一）・高等代数（110分）；（二）・抽象代数（40分）；（三）・复变函数（40分）。每位考生只做（一）与（二），或者（一）与（三），共计150分。（-）高等代数部分（110分）-・填空题（共6题，每题6分；共36分）1・e（t）耳⑴心（-1）血（1）=，其中£（“）为数乘矩阵，即由单位矩阵的第"亍乘以a后

2、得到的矩阵；7；（"）是消法矩阵，即由单位矩阵的第/行乘以“加到第丿行后得到的矩阵。3049?22•设行列式「0-7000*则第4行各元素余子式之和=53—23•设/（x）,g（A）是有理系数多项式，且/（a）.g（A）在复数域上有/（X）整除g（x）,则在有理数域上（选填“一定杯或“未必”）有/（X）整除g（X）°4.设n阶实拒阵A的特征值为入，人则A的行列式同=,A的迹A）-»5.复数域C上”阶对称矩阵按合同关系分类、共有类。6.设、［八I是n维线性空间V的两个不同的子空间，且dimVI=dimV2=^-1,则dimYC

3、V严o%1.（20分

4、）设卩、s…、a“是线性空间V的向量、知冬,...,（7”线性无关，则/}、a、aj…、a,线性相关的充分必要条件是0可表为勺冬,・的线性纽合.%1.（20分万殳昇是力吟方阵且

5、/f

6、=0o求证存在/?吟非零方阵B使得AB=BA=0.%1.（20分）设V是数域K上的所有片阶方阵构成的线性空间。令0：V->K,Ar->tr（A）,对b/wV,求证：（1）“:VtK是线性映射；（2）求dimKe®并写出Ker©的一组基。%1.（14分）设昇,〃是舁阶方阵，满足AB=BA.求证秩（J+B）<秩⑷+秩（0）-秩⑷）。（二）抽象代数部分（40分）%1.（

7、15分）设G为一个有限群，e为其单位元。群G中元素的个数称为群G的阶。若群G的阶大于2,证明存在元素a.beG满足a、b丰匕gb、使得血=加。%1.（15分）设F为一个域、证明多项式环F}]的每一个理想都是主理想。%1.（10分）若77,K为有限群G的子群，证明

8、〃K

9、=I"]®,其中

10、x

11、表示集I日nk合x中元素的个数。