建模论文食堂排队分析

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1、艾博（03231001）邁哲（03231004）北京师范大学数学科学学院03级1班引言在学校里，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。饥肠漉漉的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。增加窗口数量，减少排队等待时

2、可，是学生们十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的

3、窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。本论文将根据北京师范人学学一食堂中午的拥挤状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方而因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。摘要1、首先，我们分析调查到的数据，发现学生流符合泊松分布，服务吋间符合指数分布，由此我们的模型就变成了排队论中典型的MM模型，根据MM模型中的各效率指标的公式，我们可得到学一食堂拥挤情况的各方面数据。2、根据模型求解得到的数据，我们对模型进行了更精确的量化分析。我们发现，解决本模型的关键就在于分析顾客平均排队时间，我们对其与窗口

4、数Z间的关系进行了拟合，并就两者之间关系进行了灵敏度分析。3、针对窗口数与顾客平均排队吋间之间的关系，我们从经济学的角度进行了分析,即比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带來的收益Z间的大小关系，最后得出学一食堂设置7个窗口最为合理。进一步，我们结合经济学中的寡头竞争原理，分析了现在6个窗口设置的原因。关键词・1・排队论MM模型灵敏度等待损失模型的建立与分析由于周六周日学校没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象,我们在此就不做分析了。我们仅就周一至周五的食堂拥挤情况进行分析。经我们观察发现，一般打到饭

5、的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂里的座位数是足够的，无需添加新的桌椅。所以解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队的问题。我们将就此问题建立模型，进行分析。我们统计了从6丿」6H到6丿」10H（周一到周五）12：05至12：25高峰期学一食堂的学生流分布情况：共统计了3059人次的数据，见下表：表一每10秒到达人数123457频数257441894956350161由概率论的知识可知，若分布满足kpkX?1kp,则该分布为泊松分布。（其中为泊松分布的密度，入为泊松分布的参数）由上表可得入=3.39。经检验，该分布近似于泊松分布。

6、虽然我们仅仅调查了一调的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据述是较为可靠的。另外在非高峰时段很少发生排队现彖，故在此我们也不做分析。1、由于学校学生多，而食堂少，在中午时段，学生乂大都集中在12：05至12：25这一时间段赶去食堂吃饭，故我们可认为在该时间段中学生源是无限的，H学生单独到來且相互独SLo2、学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。3、食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。4

7、、食堂共冇6个窗口，经我们观察可发现，每个窗口服务员的工作效率是随机的,很难对其进行精确的分析。所以我们由一般统计规律，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务时间是15秒，且服务员Z间无差异。5、以10秒为一个时间单位。基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多通道等待模型(M/M/n)。该模型的特点是：服务系统中有n个服务员，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为儿服务员的能力都是卩，服务时间服从指数分布。当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队，等待服务，一直等到冇服务员为他服务为止。这个系统的效率指标有：顾客到达强度入

8、每个顾客的平均服务时间t服务员能力t1系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为顾客服务的时间比例XP=空闲概率1100])(!)f■[(9■9■+=zpppnniPnn1■1系统小排队顾客的平均数：201)1(!nnnPLnPP99••+顾客平均排队时间：kLW=顾客平均逗留时间:tww+=0系统屮顾客的平均数：P+=LL0由我们调查的数据可知入=3.39,t=1.5,n=6,代入以上齐式可得:服务员能力t1=卩=0.67,系统服务强度p==5.09,因为85.0609・5P论文我们足足准备了三个多星期。一个学期的数学模型课，最后

9、的成果都集中在了这篇论文中，可见其分量Z重，我们口然不敢懈怠。可是止应了刘来福老师说的那句话，在我们的周围有着很多的数学，问题在于我们怎么去发现它，解决它。经过好儿天的考虑和比较，我们选择了这个和我们每天的生活都密切相关的题目。题目是