数学建模-食堂排队问题

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1、数学建模论文——食堂排队问题指导老师：党建利小组成员:姓名学号李晟源200807010409自己闲来无事做的，仅供参考！[摘要]通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量，效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。[关键词]排队论；M/M/s模型；灵敏度；等待损失1.引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎

2、能不怨声载道。增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。2.多服务台排队系统的数学模型2.1排队论及M/

3、M/s模型。排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。当系统运行一定时间达到平稳后，对任

4、一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。据此，可得任一状态下的平衡方程如下：由上述平衡方程，可求的：平衡状态的分布为：其中：有概率分布的要求：，有：，则有：注意：（3）式只有当级数收敛时才有意义，即当时才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。2.2M/M/s等待制多服务台模型。设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为的指数分布，系统中具有S个服务员，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待

5、，等待空间为无限。下面讨论这个排队系统的平稳分布：即为系统达到平稳状态后队长N的概率分布，注意到对个数为S的多服务台系统，有：，和，即：，则当P<1时，由(1)式，(2)式，(3)式，得：其中：公式(4)和公式(5)给出了在平和条件下系统中顾客数为n的概率，当时，即系统中顾客数大于或等于服务台的个数，这时来的顾客必须等待，因此即：(6)式成为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统是需要等待的概率。对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长为：记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，显然也是正在忙的服务台的平均数，故：(7)式说明平均在

6、忙的服务台个数不依赖于服务台个数S，这时一个特殊的结果。由(7)式，可得到平均队长L为：L=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数对多服务台系统，Little公式依然成立。即有平均逗留时间;平均等待时间。3.实例分析3.1模型假说3.1.1假定学生在高峰期这段时间达到的人数是无限的，并且一次以参数的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。3.1.2每个服务窗口以并联的方式连接，且每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为的负指数分布。3.1.3食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向最短的对转移，没有学生会因为队

7、列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。由于周六周日学生没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此不做详细的分析了，我们仅就周一到周五的食堂拥挤情况进行分析。进我的同学观察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂的可容纳学生数是足够的，所以解决食堂的拥挤现象，主要是解决排长队与服务窗口的问题。我的同学统计了从某周一到周五11:45到12:15高峰期食堂的学生流分布情况：共统计了3059人次的数据(以10秒为一个单位)，见下表：表一每10秒到达人数123457频数257441894956350161由概率论

8、的知识可知，若分布满足，则该分布为泊松分布。(其中为泊松分布的密度，为泊松分布的参数)由上表可