27.3(1) 垂径定理听课记录

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1、中学数学听课记录课题27.3(1)垂径定理授课教师听课人听课班级初三5班听课时间2014年11月3日教学内容（一）情景引入1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣1、观察与思考：圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？（二）学习新课1、思考如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？（学生观察，猜想，并得出以下结论）①CO=DO（同圆的半径相

2、等）②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）联结OA、OB，则OA=OB.∵AB⊥CD,∴AM=BM（等腰三角形三线合一）,∠AOD=∠BOD,∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.∵∠AOC=∠BOC,∴弧AC=弧BC.1．定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.结合图形写成符号语言：∵直径CD⊥弦AB，垂足为M∴AM=BM∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.O弧AC=弧BC.例2（赵州桥桥拱问题）1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的

3、跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）分析：首先将实际问题转化为数学图形。如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、图中哪些表示圆O的半径？3、如何建立等量关系？解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=∵半径OC⊥AB，垂足为D∴AD=AB=18.7在Rt△AOD中，∠ADO=90°∵AD+OD=OA∴18.7+=答：桥拱所在圆的半径约为27.9

4、米.（三）巩固练习1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.1．如图，已知P是⊙O内一点，画一条弦AB，使AB经过经过点P,并且AP=PB.（四）课堂小结知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造由半径、半弦、弦心距的直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．五、作业

5、布置练习册：P，习题27.3（1）评价(1)本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考”中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.(2)对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.(3)例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是

6、习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约.(4)例题2是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明.建议探究中验证两个三角形全等的活动，老师可以让学生自己动手来验证，这样学生可以体会“SAS

7、”的正确性，或者老师也可以通过几何画板等工具进行演示。另一方面，由于时间的限制，本节课老师没有让学生进行课堂练习，这样不容易发现学生对知识理解的错误区。