第5章刚体的定轴转动

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1、刚体的定轴转动第五章§5.1刚体转动的描述一、什么是刚体？橡皮泥刚体：受力时形状和体积都不发生改变的物体不锈钢刚体可以看作是由许多质点组成的，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是：在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。mimjmimjmimjmimjmimj⑴刚体的平动刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动mimjmimjmimj二、刚体的运动选取参考点O，则：对（1）式求导可用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动。一般用质心。mimjO⑵转动刚体运动过程中，如果刚体上所有的点都绕同一条直

2、线作圆周运动，那么这种运动就称之为转动。这条直线称为转轴。OXYZ注意：以点为中心的转动和与以轴为中心的转动的区别··一般运动：刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动。蔡斯勒斯定理——蔡斯勒斯定理三、刚体的定轴转动在刚体转动过程中，如果转轴固定不动，则称这种转动为定轴转动。定轴转动1定轴转动2特点：①各质元的线速度v、加速度a不同。②各质元角速度和角加速度；在相同的时间内有相同的角位移。定轴转动的速度与加速度离转轴的距离为r的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：其加速度与刚体的角加速度和角速度之间的关系为：切向加速度：法向加速

3、度：特例：匀加速转动OXY一、刚体的平动动能mimjMC其平动动能应为各质元动能之和。§5.5转动中的功与能刚体中各质元运动速率相同，可用质心速率代表M刚体绕定轴以角速度旋转。刚体的动能应为各质元动能之和，为此将刚体分割成很多很小的质元。ri当刚体以角速度w转动时，设其内部质量为△mi的质量元的速度为vi=riw，动能为：二、刚体的转动动能整个刚体绕固定转轴转动的动能为：定义：刚体对转轴的转动惯量J刚体的转动动能公式：功A：质点在外力作用下沿力的方向发生位移，则力对质点必定做功三、动能定理回顾质点动能定理：质点系动能定理：1、力矩的功在刚体转动中

4、，作用在刚体上某点的力对刚体产生一个力矩，如果力矩的作用使刚体发生了角位移，那么该力矩也作了功。MMO+设一刚体的一个截面与其转轴正交于O点，为此截面内作用在刚体上的力。在dt时间内刚体角位移为dqMMO+力对转动刚体作的元功等于相应的力矩和角位移的乘积。在一微小过程中力矩作的功在力矩作用下，刚体的角位置由则力矩的功为：力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？OMXMX2、定轴转动的动能定理——刚体转动的动能定理质点系动能定理也适用于刚体。由于刚体内质点的间距不变，一切内力

5、作的功都为零。而对于定轴转动而言，外力作的功总表现为外力矩作的功，故有：合力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作的功等于它的转动动能的增量。四、刚体的重力势能任取一质元其势能为(以O为参考点）OXYmiMC结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度，与刚体的方位无关。即刚体的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）对既有平动又有转动的刚体的动能、机械能又如何呢？m、JC势能零点只有保守内力作功时，刚体系统的机械能也应该守恒例：一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机。滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a

6、=0.4m/s2匀加速上升，求：⑴滑轮的角加速度；⑵开始上升后，t=5s末滑轮的角速度；⑶在这5s内滑轮转过的圈数；⑷开始上升后，t´=1s末滑轮边缘上一点的加速度。(设缆索与滑轮之间不打滑)r解：⑴轮缘上一点的切向加速度与升降机加速度相等∴滑轮角加速度为：⑵滑轮匀加速转动，起始速度为零。故5s末滑轮的角速度为：⑶滑轮转过的角度为：相应的圈数为：10/2p=1.6圈rr⑷设轮缘上一点在t=1s时的加速度为a´。可得：例1、一个转动惯量为J=2.5kg·m2，直径为60cm的飞轮，正以130rad/s的角速度旋转。现用闸瓦将其制动，如果闸瓦对飞轮的正压力

7、为500N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50，求：fdNw飞轮闸瓦⑴飞轮转过10圈时，摩擦力矩作的功；⑵此时飞轮的角速度是多少？解：⑴摩擦力矩作的功闸瓦对飞轮的摩擦力为：方向如图摩擦力对转轴的力矩为：根据w的方向，转轴(设为Z轴)的正向为垂直纸面向外，而摩擦力矩的方向为Z轴负向。fdNw飞轮闸瓦转过10圈后摩擦力矩作的功为：⑵转过10圈后飞轮的角速度根据动能定理：例2、一个质量为M，半径为R的定滑轮(J=1/2MR2)上面绕有细绳，绳一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。

8、mg解：以滑轮、物体和地球作为研究的系统。系统外力(滑轮轴对滑轮的支持力)不作功,只有保守内力