第章 刚体定轴转动

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1、第5章刚体定轴转动在前面几章中，物体被看成了没有形状、没有大小的质点.然而，实际的物体总是有其形状和大小的，而且常常发生形变.作为一种理想模型，我们把形状和大小不变的物体叫做刚体(rigidbody).刚体上质点之间的距离在刚体运动时保持不变.那末，刚体运动有些什么规律呢？5-1刚体定轴转动1.刚体运动的基本形式刚体运动有两种基本形式：平动(translation)和定轴转动(rotationaroundafixedaxis).(1)平动刚体上任意两点的连线保持平行的运动叫做刚体的平动，如图5-1-1所示.图中是一个矩形刚体在作曲线平动.不难看出，刚体上各点的轨迹曲线的

2、形状相同，各点的速度也相同.因此，图5-1-1只要弄清楚了刚体上任意一点的运动过程，也就弄清楚了整个刚体的运动过程.这就是说，刚体的平动可以用刚体上任意一个质点的运动来代表.因此，前面几章研究质点运动实际上就是研究刚体的平动.(2)定轴转动若刚体上的所有质点围绕同一直线作圆运动，则称这种运动为刚体转动，该直线叫做刚体的转轴.转轴可以穿过刚体，也可以不穿过刚体.转轴静止的刚体转动叫做刚体定轴转动.例如，门的转动是定轴转动，车辆行驶时车轮的转动是动轴转动.刚体定轴转动时，刚体上任意质点的轨迹圆所在的平面叫做转动平面.刚体的各个转动平面相互平行，都垂直于转轴.刚体的任意运动可

3、以看成平动与定轴转动的合成.2.刚体定轴转动如同研究质点运动一样，研究刚体定轴转动也是从引入描述这种运动的物理量开始的.如图5-2-1所示,Oxy平面为刚体的一个转动平面，y转轴过O点与转动平面垂直.设A和B为该转动平面A内的任意两个质点，其位矢分别是和，角位置分B和.显然，刚体转动时，两个位矢转过的角度总Ox是相等的，即=,(5-1-1)图5-1-2叫做刚体的角位移.刚体转动的角速度,(5-1-2)角加速度.(5-1-3)所以，若已知角加速度β和初角速度,则刚体转动的角速度80.(5-1-4)若已知角速度和初角位置，则刚体的角位置.(5-1-5)设刚体上某点到转轴的距

4、离为，则该点的线速率,(5-1-6)切向加速度,(5-1-7)法向加速度.(5-1-8)由以上三式可知，刚体上到转轴距离不相等的点的线量不相等.所以，描述刚体定轴转动时多用角量.刚体定轴转动的角速度可以看作矢量，记作，其方向依照右手法则确定：右手四指弯曲指向刚体转动方向时，拇指所指方向即为角速度的方向.角加速度也可看作矢量，记作.＞0时，与同向；＜0时，与反向.思考题5-11.有人说，刚体的平动一定是直线运动.对吗？2.刚体的转轴是否一定穿过刚体？举例说明.为什么描述刚体定轴转动时多用角量？3.本节引入了哪些角量来描述刚体定轴转动？4.刚体定轴转动的矢量和有几个可能的方

5、向？5-2转动定律上一节讨论的是刚体定轴转动运动学，这一节讨论刚体定轴转动动力学.1.力矩经验告诉我们，开门、关门时，用力的方向应在门的转动平面内，作用点到门轴的距离远一点好.如果力的作用方向垂直于门的转动平面，或者在转动平面内但穿过门轴，则无论如何用力，门是不动的.诸如此类的例子说明，刚体定轴转动运动状态的改变不仅与力的大小有关，而且与力的作用O方向和作用点有关.于是我们有力矩(momentofdforce)的定义：＝,(5-2-1)图5-2-1其中是作用方向在刚体转动平面内的力,是的作用点相对于刚体转轴的位矢,与力在同一转动平面内,如图5-2-1所示.力矩80的方向

6、按照右手法则确定,力矩的大小＝，θ是位矢与力的夹角,叫做力臂.图5-2-1中的力可以分解为,(5-2-2)其中的是力垂直于位矢的分力，叫做切向分力,其大小；是力平行于位矢的分力，叫做法向分力，其大小.将(5-2-2)式代入(5-2-1)式，得＝×.(5-2-3)这表明只有方向在转动平面内的切向力对力矩有贡献.2．转动定律由上述可知，研究刚体所受力矩时，只需考虑作用于刚体上的方向在转动平面内的切向力.设刚体上质点的质量为，作用在此质点上的切向合力为(为简便起见，略去了脚标t)，相应的力矩是＝×.包括作用于质点的刚体质点系统的内力和外力，故可将上式写为,分别是质点所受切向合

7、内力的力矩和切向合外力的力矩.将上式对刚体上所有质点求矢量和，得刚体所受合力矩.由于系统内力总是成对的作用力和反作用力，且一对力有共同的力臂，故内力矩也总是成对的，等大且反向，所以，上式中的,于是有＝.(5-2-4)这表明刚体所受合力矩等于刚体所受各外力矩的矢量和，与内力矩无关.另一方面，质点所受切向合力的大小，所以，力矩的大小，合力矩的大小.上式可以写成矢量式：＝.(5-2-5)质量为的质点相对于给定转轴的转动惯量(momentofinertia)定义为80＝，(5-2-6)由若干个质点组成的刚体相对于给定转轴的转动惯量定义为.(5-2