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1、运用“一题多解”提高复习效率“一题多解”是培养学生各种能力的好方法。初中数学教学实践中，要注意让学生扩大知识面，做好解题总结，从而提高学生的判断能力，形成创新思维的习惯。通过“一题多解”的练习，学生的思路能够开阔，对各种问题能从更深层次进行思考。高效课堂中学几何一题多解发散思维教育家苏霍姆林斯基说过:“真正的学校是一个积极思考的王国。”数学教学中，高效的复习课堂特别重视学生拓展性思维能力的培养，这已是所有教师的共识。要培养学生进行灵活思考，多角度看问题，多方位处理问题进行拓展性思维，其主要方法就是拓宽思路，一题多解，善于联想，发散思维。特别针
2、对中学几何证明和求解的多样性，要求学生在做题时能善于观察、思考，从不同角度分析问题，力求灵活驾驭所学知识。一个数学问题，如果我们只有一个解法，无论是自己想出来的还是查答案看到的，都或多或少会存在认识上的局限性。只有在得出两个或多个解法后，学生才能对问题的实质有真正的了解，通过解题而加强知识之间的联系以形成知识网络，从而培养解题能力的目的才有可能得以实现。我们仅以下面这道题目来说明这个道理。题目：如图1,半圆的直径AB=2,点C从点A向点B运动沿着半圆运动，速度为每秒兀6,运动时间为t（秒），D是弧BC的中点，连结AD,BC相交于点E,连结BD
3、.（1）如果OC〃BD,求t的值及BDAE的值；（2）当t=3时，求BDAE的值.本题的第（1）问相对比较简单，这里就不展开介绍，给出一种参考答案如下：解：（1）如图1,OC//DB,・*.ZDBC=ZC=ZCBA,・•・弧DCT瓜AC,又点D平分弧BC,・*.ZDBC=ZC=ZCBA=30°・••弧AC=13兀,・*.t=2；在RtAABD中,ZD=90°,AB=2,ADB=1,AD=3,在RtZXBDE中,ZD=90°,BD=1,・DE=133,.IAE=233,DBAE=32.第（2）问解法一：分析：由已知条件直径AB=2,再利用角平
4、分线性质过点E作EF丄AB于点F,根据勾股定理、三角形相似可求出相应线段长度及关系。解如图2,过点E作EF±AB于点F理由：当t=3时，弧AC=12n,ZABC=45°•'•AC二BC二2，BF二EF二CE二2—2，EB=2BF=22-2•••AE2二(2)2+(2—2)2二8—42由ZkACEs^BDE得：DBAC=BEAE,二DB=AC•BEAE,•••DBAE=AC•BEAE2=2•(22-2)8-42=12解法一从角平分线的性质入手，通过三角形相似把线段DB用AC、BE、AE的关系表示出来，从而达到
5、直接求解BDAE的目的，培养了学生一种“整体思想”。解法二：分析：如图3,可以找AE中点M,根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AE=2CM,然后作CH丄AE根据相似求得BD=2CE,再由CM、CE之间的关系求出答案。解：如图3,找AE的中点M且连接AM,作CH丄AE交AE于点H,VAB是直径…'.AC丄BC,ARtAACE中AE=2CM,AM=CM,又TCH丄AE,AD±BDACHE〜△又TAD平分CAB,・*.CHBD=CEBE=ACAB=12,Z.BD=2CH,又VRtAMHC中ZCMH=22.5oX2=45o,.IMC=2CH,・
6、*.BD=MCADBAE=12o解法二巧妙地利用相似找出DB与CH的关系，由CH与CM的关系发现CM=DB,再通过直角三角形斜边上的中线的性质得出AE是CM的2倍，从而得到BDAE的比值。这里利用线段CE、CM为桥梁，培养了学生一种“转化思想”。解法三：分析：如图4,连接0D交CB于点P,根据0D〃AC可以推得ACAE〜ZXBDP,则可由DBAE=BPAC求的要求的值。解：连接0D交CB于点P,・・・OD〃AC,/.ZDPB=ZACB=90°又TZDBP=ZCAEAACAE〜^DP・•・DBAE=BPAC,T等腰RtAOPB中，OP=PB=1
7、2AC,DBAE=BPAC=12解法三利用垂径定理的推论找岀RtABDP,从而把要求的BDAE里的BD、AE分别放到两个直角三角形的斜边上，直接通过相似求出比例，培养了学生一种“化归思想”。解法四：分析：我们可以先把AACE独立出来，在RtAACE中求出tan22.5°的值，然后根据三角函数值直接计算出相应线段的长度，这种先求出基本图形的函数值再求解的方法在解题中应用比较广泛，值得我们所关注。解：如图5,在RtAACB中因为AE平分ZCAB,ACEBE=ACAB=12,若设CE=m,则EB=2m,.•.AC=BC=(2+l)m,Atan22.
8、5杜二tanZCAE二11+2=2—1设BD二x,在RtAEBD中，DEBD=tanZEBD=tan22.5°ADE=X?tan22.5°==(2-1)x,又・••
