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1、空间曲线积分与路径无关的证明及其运用报告人：梁燕、马玉翠指导老师：高文华北京师范大学珠海分校应用数学学院广东珠海519085摘要木文给出空间曲线积分与路径无关的四个等价条件的证明以及该定理在实际中的运用。由于教材没有给出这个定理的证明，本人完成了该定理的证明，并给出应用。关键字单连通区域连续一阶连续偏导数等价1、引言在数学和物理上许多复杂路径的积分问题用一般的积分方法难以解决，若可以证得其曲线积分与路径无关，可以利用该定理更方便地解决和关问题。为此本文由数学中的斯托克斯定理出发，严密的推证了三维空间中积分与路径无关的四个等价条件以及空间曲线积分与
2、路径无关在保守场中的应用。2、预备知识定义1・1区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。定理1.2设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S（连同L）上连续，且具有一阶连续偏导数，则rr,37?,.dPdR.,,.dQdP.,,11（-）dydz+（--——）dzdx+岸-—）dxdyyuydzdzdxoydz-fPdx+Qdy+Rdz,JL其中s的侧与L的方向按右手法则确定。定理1・3（积分中值定理）若丙数/（Q在闭区间［“］上连续，则在积分区间［以］上至少存在一个点使下式成
3、立£f(x)dx=/(§)(b-aa<^4、Qdy+Rdz；(iii)Pdx+Qdy+Rdz是Q内某一函数u的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz；¥普晋畔乎耳•在Q内处处成立。oyoxdzdydxdz2•证明:AZTX(i)n(ii),如图1,在空间Q上取两点a,B,其中A为起点，B为终点，设4CB与为联结点AB的任意两条按段光滑空间曲线厶和厶，乙与厶组成简单闭合曲面。由可(i)推得[^Pdx+QdybRdzPdx+Qdy+Rdz二（占Pdx+Qdy+Rdz+-Pdx+Qdy+RdzBDAACBDAPdx+Qdy+Rdz=0,则曲线积分LPdx+Qdy+Rdz与路径无关，只与起点A与终
5、点B有关。中值定理求得竽"，鲁=0,竽二R证：设4（x（）,y（）,z（））为Q内某一定点，B（x,y,z）为Q内任意一点，由（ii）,曲线积分ABPdx+Qdy+Rdz与路径无关，故当BO,”z）在Q内变动时，其积分值是B（x,y,z）的函数，即有y,z）=（Pdx+Qdy+RdzoJABPdx+Qdy+Rdz=(仍Pdx+Qdy+Rdz+Pdx+Qdy+Rdz由于B、c均在。内，0为空间单连通区域，则直线BC平行于"轴且在Q内，所以妇力=0。从而由积分中值定JACBC取山充分小，使C（x+心,y,z）wQ,贝IJ函数2心』,z）对于X的偏增
6、量u(兀+Ax,y,z)-u(x,y,z)二二L，Pdx+Qdy+Rdz-J〃Pdx+Qdy+Rdz因为在Q内曲线积分与路径无关，所以理可得Aw=u(x+Ax,y,z)-u(x,y,zPdx+Qdy+RdzP(x,y,z)dx=P(x+Mr,y,z)Ax其中ov0v1根据P（兀,y,z）在Q上连续，于是有dudx,•Awlim——山TO心limP(x+y,z)=P(x,y,z),Av->0同理可证詈呵S，z）,dudz=R(x.y,z)。因为P、Q、R都是连续的，所以M“,z）就有一阶连续偏导数，从而由可微的充分条件知，心,）“）是可微的。因此,
7、du=Pdx+Qdy+Rdz。（iii）n（iv）设存在函数y,Z），使得du=Pdx+Qdy+Rdz,所以P&,%z）=叫」引,Q（x,y,z）="习恥,皿）=迤辺，因此迴心一不dx辺（s，z）二沪vdQ（s，z）二沪_丽，乂dz_丽，,dydzdy，dz1—1dydxdy"厂22派（-；,：,z）=g£,讯厂）=锂,.因为p（x,y,z）,Q（x,y,z）在区域。内具有一阶连续偏导数’所以在。内每_3PagBQ3R3RdP点处都有乔二瓦'花二亦忘=花・、dPdQdQdRdRBP应用斯托克斯公式，Q内恒有亦厂花"=环？石二石则ff雲-dydz+
8、f嬰_^-dzdx+-—dxdy=fPdx+Qdy+Rdz=0dz丿丿(dzdx丿©dy丿7J34.在实际中的应用空间曲线积分与路径无
