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1、相似及解直角三角形(-)知识要点知识点1三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180。；④三角形三个外角的和等于360。；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形
2、的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行丁第三边口等于第三边的一半。知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形;②冇两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边);③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角
3、形的三个内角都等于60°。知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90。的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是•直角三角形。肖角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的屮线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5全等三角形定义、判定、性质知识点6相似三角形:定义和似三角形相似三角形的性质判定方法两对应边的比相等，夹角相等＜两个对
4、应角相等三条对应边的比相等对应边的比等于相似比对应高的比.等于相似比周长比面积比二相似比平方【典型例题】例1・(1)已知：等腰三角形的一边长为12,另一边长为5,求第三边长。(2)已知：等腰三角形中一内角为80。，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：(1)分两种情况：①若腰长为12,底边长为5,则第三边长为12。②若腰长为5,底边长为12,则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为12。(2)分两种情况：①若顶角为80
5、。，则另两个内角均为底角分别是50。、50°o②若底角为80。,则另两个内角分别是80。、20°o因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°o说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2・已知：如图，AABC和/ECD都是等腰三角形，ZACB=ZDCE=90°,D为AB边上的一点，求证：(1)AACE^ABCD,(2)AD2+AE2=DE分析：要证ZACE竺ZBCD,己具备AC=BC,CE=CD两个条件，还需AE=BD或/BC
6、D,rfn'ZACE=ZBCD显然能证;要证4D2+4E2=DEj需条件ZDAE=90°,因为ZBAC=45°,所以只需证ZC4F=ZB=45°,由AACE^ABCD能得证。证明：(1)VZZ)CE=Zy4Cfi=90°,:.ZDCE-ZACD=ZACB—ZACD,即ZACE=ZBCD,・:AC=BCfCE=CD,・AACE^ABCD.(2)VAACE^ABCD,・・・ZCAE=ZB=45°,VABAC=ZS=45°,・・・ZD4E=9(T,:.AD+AE=DE。222例3・已知：点P是等边A
7、ABC内的一点，ZBPC=150°,PB=2,PC=3,求砂1的长。分析：将/}BAP绕点B顺时针方向旋转60°至ABCD,即可证得ABPD为等边三角形,必PCD为直角三角形。解：・.・BC=&4,・••将ABAP绕点艮顺吋针方向旋转60°,使BA与BC重合，得4BCD,连结PD。:.BD=BP=2,PA=DCo:.ABPD是等边三角形。:.ZBPD=60°oZDPC=ZBPC-ABPD=150°-60°=90°。D■•・°C=JPD?+PC?=V22+32=V13•:.PA=DC=.—oJ13
8、八、、【变式】若已知点P是等边/iABC内的一点、,PA—訴亍PB=2,PC=3°能求illZBPC的度数吗？请试一试。例4・如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC,以BP为边作ZPBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.（1）观察并猜想AP与CQZ间的大小关系，并证明你的结论.（2）若PA：PB：PC=3：4：5,连结PQ,试判断△PQC的形状，并说明理由.解：（1）把AABP绕点B顺时针旋转60。即可得到ACBQ.利用等边三角形的性质证△ABP9ACBQ,得至l」AP=CQ・
