用等效法研究单摆的周期问题

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1、用等效法研究单摆的周期问题单摆的周期公式为学生所熟知，若将单摆置于不同的环境中再來研究其周期问题，往往令学生感到茫然，若用等效方法研究单摆，可使学生对其认识深刻，化难为易。一、求等效摆长所谓摆长意味着悬点到球心间的距离，同学们对下图中各摆等效摆长一看便知，迅速可得周期公式，分别为（注：摆球可看作质点）:若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算。例1・由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C,如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°,当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效

2、摆长，连接AB,然后过摆球C作竖直线交直线AB丁0点，则0C为该摆的等效摆长，如图5所示，Lcos303,故周期:二、求等效重力加速度原始的单摆模型在振动过程中冋复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问题，必须从研究回复力着手，求岀其等效重力，再求等效重力加速度g”，则忙。例2.在升降机中挂着一单摆，摆长为L,当升降机以加速度er匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。简析：单摆在摆动过程屮，受重力和绳的张力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。根据力的作用效果，将F分为国、耳、耳三个力

3、，如图6所示，在竖直方向上，F：＜与G的合力产生向上的加速度a,切线方向的F】使单摆返冋“平衡”位置，产生切向加速度,F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。因为理_G=ma、所以禺=曲+叨g又因为F丄所以：珂=鸟sm0=m（a+g）sinQsinff^G=—,有片=/（€+&）△当9很小吋，LLo故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成止比，且方向相反，得沁+讥单摆在升降机中摆动周期为:显然我们称之为等效重力加速度，同理，若升降机以加速度a匀加速下降,则：可见在升降机中加速上升（或加速下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求岀等效

4、重力加速度，则单摆的周期问题迎刃而解，现列举另外几种常见情形：（1）在水平加速运动的车厢内如图7所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由0变到了0”，等效重力加速度为灯二也「+/,则振动周期为图7（2）在斜而上加速运动的车厢内T=2広如图8所示，当小车沿倾角为。的光滑斜面口由滑下时，单摆的周期为比小车静止时要大。（3）光滑斜面上的单摆如图9所示，单摆一端系于倾角为®的光滑斜而上，产生回复力的是sin6的切向分T=2丸力，等效重力加速度为g-gsin^,周期为（4）复合场中的单摆若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中，如

5、图10所示，则得到最常见的复合场。图10若摆球带负电，则:T=2丸若摆球带止电，则:T=2咒当=吋，单摆停摆。若电场方向改为水平，同理分析可得。（5）在匀速运动的卫星内因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需耍的向心力，所以处于完全失重状态，单摆停摆。三、用等效模型求T在光滑的圆弧槽底端有一小球，冃知圆弧半径R远大丁圆弧长，其受力类似于单摆，容易证得小球运动为简谐运动，则其周期为。例3.如图11所示，光滑圆弧槽半径为R,A为最低点，C到A距离远小丁R,两质点B和C都由静止开始释放，问哪一个小球先到A点？简析：B球到A点时间用自由

6、落体运动规律求解，其时间:C球第一次到达A点用单摆周期公式:显然，3%即B球先到。讨论：要使两球在A点和遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少?分析：B球下落吋间为：又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h值亦应有多解:洛=（2”+1耳,又T=2厝"空於込=山1,2-）解得：8