2、函数应为q占)=飞三u占),k=1,2,3因此标准止交函数集为{^(/),的(0,%(/)}=W1"),2迈“2⑴'2近“3(')}③解：用标准止交函数集展开的系数为务=($(/)•%•⑴d/,R=1,2,3,由此可以得到aTs⑴胡'g命迈'ciy=『$(『)•-=0o所以，$(/)=—y/2q2(t)=_%(()—“2(/)22311④解：先计算得到£(/)=s(t)-^akuk(z)=s,(r)——弘](/)+_陶(/)=0“122⑤解：用标准正交集展开的系数分别为a】=丄5"(/)・一Wj(t)dt=丄一COS(—7Tt)dt—0,cos(+；rf)df=0,①=丄HF)"匸楊co
3、s(存)力+[:诺cos©讪一_4>/2—O71COS(+7lt)dts(t)的标准止交展开式为$(0=士返％(0=2如(0。71、71、2误差函数£(『)=$(『)——心⑴，均方误差$=71■:[cos*r-孰(沂力=4弓。⑥解：对③中的M),均方谋差为0,图中所示的三个函数对s⑴组成完备正交函数集。对④中的5(0,均方误差不为0,图中所示的三个函数$(/)不构成完备正交函数集2-2试证明任意函/(/)总可以表示为偶函数£(/)和奇函数£(/)Z和，即/")=£(『)+九(°，并求阶越函数U⑴、e®及护的奇偶分量。(提示：M)冷[□)+心)]+*[□)-心)])解题思路：根据提示，对任
4、意函数/⑴，分别将丄[/("+/(-"]和丄[/(0-/(-0]中22的自变量I变为-I,可以得到：*[/(0+/(T)]=*[/(T)+/⑴],可以令该函数为偶函数£(小丄"⑴一/(一"]=一丄[/(-()—/(/)]，可以令该函数为奇函数£(小由此得证。22证明：①因为/(r)=
5、[/(r)+/H)]+
6、[/W一/(—"]令£(()=*[/⑴+/(-/)]，£(0=
7、[/(0-/(-0]，则有mfQS即£(f)为偶函数，£(/)为奇函数，这说明任意函数/(f)总可以表示为偶函数£(『)和奇函数A(/)Z和。①阶越函数U⑴:/(/)=*[""+(/(—/)]=£,t/o(r)=i[t/
8、(r)-f/(-/)]=
9、sgn(0[1,r>0(sgn(r)为符号函数，sgn(z)=)[-1,z<0指数函数fg严：fe^=^le~at+严],fo(t)=^[e~at-eaf]复指数函数g(t)=eJt:g°(f)=*[ejt+e~Jl]=cos/,g“⑴=£七"-e~Jt]=Jsinf2-3证明一个偶周期性函数的指数傅立叶级数的系数是实数，而一个奇周期函数的指数傅立叶级数的系数是虚数。解题思路：题日所要证明的奇、偶函数均指实函数。对于复函数/⑴，如果它满足/(r)=/*(-r)＞称其为共辘对称函数。当/(/)是实函数时，它就是偶函数。同样，对于复函数/a),如果它满足/⑴二-厂
10、(T),称其为共純反对称函数。当/(『)是实函数时，它就是奇函数。因此可以运用偶函数和奇函数的上述共轨对称性质和共轨反对称性质证明。co证明：①设/⑴为一周期性函数，则其傅里叶级数展开为f(t)=工C#叫:n=-oc8/(-r)也为周期性函数，并且有/(t)=Ye/%如。同时，/⑴满足/(r)=/*(-/)，n=—co则有X£C：严",c“=c；t,故q为实数，得证。?i=-oon=-oo②周期性奇函数/(r)nf以做傅里叶展开，即/(/)=如,”=一8奇函数满足/(/)=-/*(-/),同上得J=_C：,故C”是虚数，得证。2-4利用周期信号的傅里叶级数证明下式成立:88工/(7-血)
11、R/0工》(/-叭)鸟=一8k=_g式中,/0=l/T0O00证明：兀⑴=工5(—塔)是周期为人的周期函数，因此其傅里叶级数展开式为,即«=—8X（①）=2龙工cnS（a）-nco｛））,斤=YO1x（/）=2>/（/-%）,/厂〒n=-oo上°c〃是兀(/)展开后的n次谐波系数,］「％81^02k=F”=产压工沢一耳)茴如伽=产=/0，得证。2-5证明①/(/)的傅里叶变换可以表示为3[/(r)]=F{cd)=J2f(0cosco
