病毒传播SIS模型研究(终结版)

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1、病毒传播SIS模型研究摘要病毒传播问题的研究由來已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以來吸引着人们的注意。在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感一感染一易感"(SIS)模型是研究者经常的选择。对于问题一，我们分别选取了A、B两类数据前一百个节点，首先利用Matlab软件对这两类数据的前百个节点做出了频数直方图，接着，我们利用Excel软件对这些节点连接度的出现频率进行了计算得到相应的频率分布表，然后我们又利用Matlab软件将该频率表制成了相应的频率分布散点图。分析图表时，我们先将该曲线进行有关泊松分布的拟合，我们发现这两类节点频率分布不服从泊松分布。再经过查找资料以及数据

2、分析与二次拟合我们发现这两条曲线均服从幕律分布。经过分析计算我们得到了如下表达式：/,(%)=0.6645V2044-0.0006162.；fB(x)=0.6657V2056-0.0005742.rtl此，我们可知A类节点连接度服从幕指数为-2.044的幕率分布，B类节点连接度服从幕指数为-2.056的幕率分布。对于问题二，我们基于网络的増长和择优连接特性，并结合二部网络的特点，通过分类、增长、择优连接三个步骤，构造了BA无标度网络模型。鉴于BA无标度二部网络的增长特性，我们分别对A、B进行了度分布的分析与模拟增长。最后我们得出A类网络的度分布函数为：乙⑷二”了(；卩、.B类网

3、络的度分布函数£(£+1)(£+2)/d2mm+1)为'几C)=F(F+l)(F+2「对于问题三，我们主要在二部随机传播网络上考虑“易感一感染一易感”(SIS)模型，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。在这里，我们设总人数为定值，所以在求得病数量的问题上，我们直接从感染密度的角度岀发，最后通过感染密度与总人数的乘积得到得病的具体数量。基于SIS模型，我们对所研究的问题从较平稳吋期的定义岀发，由平稳吋期确定感染密度的定义。由于总人数是相同的，所以通过A类和B类的感染密度比例直接得到A类和B类的得病比例为2.007o对于问题四，我们采用Vc6软件对上述模型进行理论分

4、析，估计可得当趋于稳定时，A类与B类的得病比例为：2.014,与理论接近。证明问题三所得结杲合理可取。关键词：病毒传播“易感一感染一易感”(SIS)模型频率分布散点图拟合幕律分布BA无标度网络模型度分布函数得病比例一、问题重述病毒传播问题的研究由來已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以來吸引着人们的注意。在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感一感染一易感”（SIS）模型是研究者经常的选择。关于SIS模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率（0）被感染，同时,已感染的个休以概率（Q被治愈乂重新成为健康（易感）的个体。实际屮

5、大量的问题可以利用网络（图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体（人、动物、计算机等）可以看作网络的节点，当个体Z间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康的（易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，曲于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度（边数）。所谓二部网络（图），是网络屮的节点可分成两类（比如男性和女性，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。在经典的传染病学模型屮，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基木相同的度，但一

6、些研究表明，这一假设远远背离实际情况。因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义。本题主要研究二部网络上的病毒传播问题，附件提供了一个二部网络（由10000个A类节点和10000个B类节点构成）的节点度的数据，如数据的第-•行表示A类的1号节点有96条边，B类的1号节点有21条边。试根据数据完成以卜•任务：1.根据“附件”提供的数据data.xls,选择适当的坐标，做出节点连接度和其岀现频率的图形，观察这种类型的连接度数据大致服从什么分布？2.生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一小型的二部图，随后在A类屮加入一个新节点并向B类中的节点

7、连边，该边指向B类中i号节点的概率正比于7号节点当前的连接度，而后在B类屮产生新节点，以同样的方式向A类屮连边，当这两个步骤进行足够多次Z后即可得到满足数据文件特点的网络。根据这里所提供的生成机制，发现节点连接度分布的表达式。3.在这类网络上考虑“易感一感染一易感”（SIS）模型，得到较平稳时期的得病数量以及A类和B类的得病比例。（参数y=0.1,考虑到两类个体的感染率可以不同，分析中假定A类个体的感染率为B个体感染率的2倍，即阳=2仇，并分别取B类个体的感染率角=0.01,0.02,0.0