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1、第工程数学学报Vol.20No.20卷第8期.2003年ee12月D2003JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号:1005一3055(2003)08一0045一04病毒传播的数学模型么焕民(哈尔滨师范大学信息科学系,哈尔滨150025)摘:、,,要本文研究了病毒传播蔓延并感染人群的特点构造了正则马尔柯夫链模型并求解不动点向量分析了病毒在传播、蔓延过程中其类。型频率保持不变的基本特征:;;;;关键词病毒正则马尔柯夫链数学模型不动点向量转移矩阵::.:分类号AMS(2000)34D23;92D30中图分类号01751文献标识
2、码A1引言肆虐全球的各种病毒,由于其耐药性的增强和其自身结构上发生的变异,使得它们来,。、,势凶猛威胁着人类的健康如今年在我国较大面积传播流行的SARS病毒很难在短,,。期内研究清楚其病因机理不仅给预防工作带来困难也给人类带来灾难与恐慌本文从,数学建模角度对病毒的传播和蔓延特点进行了数学描述改变以往采用微分方程法建模的做法,构造了正则马尔柯夫链模型,通过求解不动点向量,得出病毒在传播、蔓延过程中。其类型频率保持不变的基本特征2预备知识,,,,设某地:区人群总数为N分为三种基本状态第一免疫力强不会感染病毒的强健康人群,,、,,总数为:;:N记其类型为八A第
3、二免疫力较弱容易感染病毒的准健康人群总数为N记其类型,、,,,;极易感染病毒的弱质易发病人群总数为N:A表为Aa第三免疫力很弱记其类型为a其中,,,。示免a疫力强不易感染病毒的特征表示免疫力弱容易感染病毒的特征,,,,。记时刻t人群所处的状态为x(t)5={x(t)lx(t)=k、i=123}由于病毒流行,并感染人群的现象具有不确定性的特点即状态变量x(t)的取值会受到许多随机因素的影,,。,响且依赖于时间t并以一定的概率取值于某一状态因而是一个随机过程另外记这个随,机过程在时刻t。的状态值为x(to)=k。而在时刻t。十t(t)0)达到状态值xt。十=
4、(t).一一,,,,::1963收稿日期2003n巧作者简介么焕民(年8月生)男理学硕士副教授研究方.向:逼、近论偏微分方程数值解:,,基金项目黑龙江省自然科学基金资助项目黑龙江省教育厅科研基金资助项目哈尔滨师范大学科研基金资助项.目46工程数字学报弟2()卷.............日..,,,,k的概率为P(t。to+t)=p易知p只与t。和x(t。)有关而与t。之前的状态无关因而。,,这个随机过程是一个马尔柯夫过程再者我们所讨论的问题中由于状态与时间均为离散变化的,因而反映病毒传播并感染人群的数学模型实质上是马尔柯夫链模型,其转移矩阵具有以下形式、
5、J卫.l”.‘,L工JP力衬1勺‘工I卫P力12P21刃⋯⋯si(1)乡,,,i2PPP满足条件井.Z子吸廿P。全O,,少=1,2,⋯,nZ、勺‘,O、,了l,,,,1乞二12⋯n,,,,,=(二,二2⋯二:。定义1(随机向量)如果某个向量V)的所有分量均非负且乙1,则称。V为随机向量。定义2(随机矩阵)行向量全是随机向量的矩阵称为随机矩阵,,定义3(正则马尔柯夫链)对于一个马尔柯夫链若存在自然数k使尸的所有元素均,。为正则称这个马尔柯夫链为正则的马尔柯夫链。引理1随机向量与随机矩阵之积仍为随机向量。引理2任意两个随机矩阵之积仍为随机矩阵,引理3对于正则
6、的马尔柯夫链其转移矩阵尸满足条件1)‘=A;hm尸(A为随机矩阵)2)A的每一行向量均相同;。3)A的所有分量均为正,,,,,引理4尸是正则的马尔柯夫链的转移矩阵v二(。lvZ⋯叭)是矩阵A的行向量则有·l,,,〕t1)对任意的随机向量X=(xx2羌)有hmX子二V;,,才,。2)存在惟一的随机向量V=(vl⋯认)使得=VVP,。定义4若随机向量V满足V=则V称为随机矩阵尸的不动点向量由引理4,利用等式飞甲=V(4)得到求解不动点向量的线性方程组,,,刃IPllv2P21刃Pi=刀1:,lzZv222v,,,2=pPP刃2(5)v,,。’,,,:,,1P
7、I+vZPZ+“+vP=刃,,刃1+vZ+⋯+v=1第:8期么焕民病毒传播的数学模型3模型的构造与结果,,,,,,如前面假设某地区人群总数N分为三种群体人数分别为NlN:N3分别用凡八.、.__二__NIN,N;,_、_二Aa,,=Nl+:十N,,,,二则有NN而向量()表示’各类人群占人群总数的比’a一表示‘/、J‘Jl‘’’“’J“’’/一’‘/、”’‘、曰’‘曰斌一~~价””””~淤N半N宁N~曰/、~~~~,在此称。,l,,,,,率其类型频”率再设理论上某个庞大人群中这三种人群的类型频率为向量(_.‘、.,,、.,、,_‘__N:,;__,NN,
8、,,显然叫以用(下子二f八子)作为(l爪n)的近似1百i-r但即有里丫工勺义丫Z
