浅谈分类讨论题的归纳方式

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1、浅谈分类讨论题的归纳方式分类讨论是数学解题方法中的重要思想方法之一，也是每年高考中考察的重要内容之一，因此中学教师在教学中更是反复渗透，多次训练，通过指导和训练，大部分学生基本上能运用这一思想方法解决问题，但总有一部分学生(包括成绩比较优秀的学生)在分类讨论求得某个字母的取值范围后，不能准确使用结论的归纳方式，因而不能得到圆满的分数，使得老师、学生本人对此一声叹息。针对这一遗憾,我总结了几种常见的结论归纳方式及区分方法与大家一起探讨。根据几年来接触到的利用分类讨论求某个字母的取值范围的题目，我认为有三种常见

2、的结论归纳方式：并列形式、取交集形式、取并集形式。(1)并列形式将分类讨论的结果不做任何处理，用并列复句的形式给出，基本格式为：当……，有;当•…，有例1解关于X的不等式/一(d+q2)x+q3〉0(°eR)解：原不等式等价于(…)("/)>0而°2-°=(°一1)°>0Ehta>1,或a<0/.当a=1,或a=0,即a2=°时，不等式的解集为(兀卜Ha}当a>1,或a<0,即/〉°时，不等式的解集为(兀卜>/，或兀<当0vav1,即/°,或兀

3、的每一类的结果求并集作为最后的结论。基本形式为：符合题意的结论为p^p2・例2解不等式:卜_4

4、_

5、2兀+5

6、<1解:⑴当xv-?时，原不等式变形为-(兀-4)-[-(2x+5)]<1艮卩兀+9<1.*.%<8(2)当-号—<4吋，原不等式变形为-(兀-4)-(2x+5)vl2即—3x—1v1，3x〉—2,/.x>—3所以—±4时,原不等式变形为x-4-2%-5vl,即-x-9<1:.x>-10：.x>4是不等式的解.综上所述原不等式的解集为：2?(-od,8)U(—一,4

7、)U[4,+oo)H卩(—oo,8)U(——,+oo)(1)取交集形式对分类讨论的每一类结果求交集作为最后的结论•基本格式为:“In“2.例3求使不等式QX

8、=2xx故°5兀+丄恒成立，贝懦X综上所述，a的取值范围是[-2,+00)AA(-oo,2],BP[-2,2]从上面的三个例子我们不难看岀，对于分类讨论的结果处理的方式是不同的，这取决于讨论对象与所求对象的关系。在例1中，相对而言a是常量，x是变量，x要用a表示出来。解决这个问题时需针对常量a和a2的大小关系对a进行讨论。当Ovavl时，x只能在(d,+8)U(-oo,/)才能使不等式成立，而不能在(-00,d)U(d,+8),因而只能用并列的形式表示X的解集，而不能用取并(或交)集形式表示X的解集•在例2

9、中变量只有x,解题时针对怎样去掉绝对值符号即x的不同取值范围展开讨论。由于x是实数，所以x取(一00,一8),(弓,4),[4,+8)都能使这个不等式成立,故该不等式的解集为Y,-8)U(-

10、,4)U[4,+8)即(-00,-8)U(--,+00)o例3中a是常量，x是变量•不等式对在卜2,1]内变化的X而言恒成立，解题吋针对X的范围分了三类情况讨论。要使在卜2,1]内的每个x不等式均成立，则需在Xe[-2,O],XG{O},XG(O,1]内不等式恒成立,故对每类所求a的范围应求交集.例3还有下而的解法：不

11、等^ax0-丄,故°e0;22当纟e[—2,1],即—45a<2时，最小值为/(土)=1-—>0,/.-2<6/<2;当彳〉1,即q>2时，最小值为于(1)=2+0»0・・・°32,.・.°丘0.综上所述,a的取值范围是0U[-2,2]U札即Qe[-2,2].事实上，学生主要的困难在于是用并列形式，还是用取并集形式、取交集形式。通过上述分析以及参考我

12、们平时所练习的各种分类讨论的问题，我们很容易总结岀三种结论归纳方式的简单区分方法，总结如下：在题目中如果有a、x等参数或更多的参数，a是常量而其他是变量或未知量，对结论的归纳方式，主要看被讨论量与所求量的关系。一般情况下，如果是对常量a讨论而求变量x的范围，常常把每一类的结果以并列形式写出来，如例1;如果被讨论的量与所求量一致时,则常常把每一类的结果求并集作为最后的结果，如例2和例3的解法2；如果针对变量x分类讨