导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

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1、导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。★已知函数（a>0）,求函数的单调区间★★例1已知函数（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数，其中。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。（Ⅱ）由于，所以,由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。(1)当时，则。易得在区间

2、，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（1）当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。19以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。★★★(区间确定零点不确定的典例)例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤

3、x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.(2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).X=12y令L′=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.912x在x=6+a两侧L′的值由正变负.0所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)

4、=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+a≤即≤a≤5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.所以Q(a)=答若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知(Ⅰ).求函数的单调区间;(Ⅱ).求函数在上的最小值;(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.解：(Ⅰ)19(Ⅱ)(ⅰ)0

5、)0

6、已知函数，求函数的单调区间★★例2已知函数（a>0）,求函数的单调区间★★★例3已知是实数，函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。19解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2）当时，由，得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。②

7、当，即时，在上单调递减，所以。综上所述，（）令。①若，无解；②若，由解得；③若，由解得。综上所述，的取值范围为。19三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。★例1已知函数求函数的单调区间★★例2已知函数求函数的单调区间★★★例3设，函数，试讨论函数的单调性。解：∵。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数