列联表独立性分析案例1

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1、2021/7/25郑平正制作4.3列联表独立性分析案例高二数学选修1-2第四章统计案例在许多实际问题中，外面需要考察两种因素的关系。例如：数学解题能力是否与性别有关；高考升学率是否与补课有关。为了分析这些问题，外面需要获取一些数据，并对数据进行分析处理。例如，为了了解患肺癌是否与吸烟有关，就需要调查其他条件都基本相同的n个人。将调查结果列成表的形式。XY患病不患病总计吸烟aba+b不吸烟cdc+d总计a+cb+dn其中X表示“是否吸烟”，Y表示“是否患肺癌”。称类似的表格为列联表；称X,Y为两个因素，称“吸烟”和“不吸烟”为X的两个水平称“患肺癌”和“不患肺

2、癌”为Y的两个水平XY患病不患病总计吸烟391554不吸烟212546总计6040100%%72.22%-45.65%=26.57%通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患病有关结论的可靠程度如何？独立性检验第一步：先假设H0：X,Y独立。即假设吸烟和患病之间没有关系患病不患病总计吸烟aba+b不吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d第二步：列出2×2列联表用χ2统计量研究这类问题的方法步骤：第三步：引入一个随机变量：卡方统计量第四步：查对临界值表，作出判断。P(c2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005

3、0.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(c2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.1%把握认为A与B无关1%把握为A与B无关99.9%把握认为A与B有关99%把握认为A与B有关90%把握认为A与B有关10%把握认为A与B无关没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关例如独立性检验通过公式计算患病不患病总计

4、吸烟391554不吸烟212546总计6040100H0：吸烟和患病之间没有关系解：已知在成立的情况下，故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患病与吸烟有关系”。即在成立的情况下，大于6.635概率非常小，近似为0.010现在的=7.307的观测值远大于6.635，出现这样的观测值的概率不超过0.010。例1.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：该种血清能否起到预防感冒的作用？未感冒感冒合计使用血清258242500未使用血清216284500合计4745

5、261000解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。因当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。P(c2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(χ≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910

6、.828有效无效合计口服584098注射643195合计12271193解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。因当H0成立时，χ2≥1.3896的概率大于15%，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。＜2.072例2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？P(χ≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0

7、722.7063.8415.0246.6357.87910.828例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？有效无效合计复方江剪刀草18461245胆黄片919100合计27570345解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。因当H0成立时，χ2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。P(c2≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0

8、722.7063.8415.0246.6357.87