江苏专用版2018-2019学年高中数学4.4.1参数方程的意义学案苏教版选修

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1、4.4.1　参数方程的意义1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义．[基础·初探]1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数反过来，对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形

2、的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式；(4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．[思考·探究]1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】　参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．在选择参数时，要注意什么？【提示】　在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，

3、y取值范围的制约；④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________

4、________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________点与曲线的位置　已知曲线C的参数方程

5、是(t为参数)．(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．【自主解答】　(1)把点M1(0,1)代入，得解得t＝0，故点M1在曲线C上，把点M2(5,4)代入，得这个方程组无解，因此点M2(5,4)不在曲线C上，(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以解得故a＝9.[再练一题]1．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a.【解】　∵点M(5,4)在曲线C上，∴解得：∴a的值为1.求曲线的轨迹方程　如图441，△ABP

6、是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．图441【自主解答】　法一　设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．∵OA＝，∴BQ＝.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．法二　设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数(0＜θ＜)，则∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，OB＝acos(－θ)＝asinθ.在Rt△QBP

7、中，BQ＝acosθ，PQ＝asinθ.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(θ为参数，0＜θ＜)．求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．[再练一题]2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【导学号：98990026】【解】　如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，

8、y)对应时刻t，由图可知又θ＝t(t以s为单位)，故参数方程为(t为参数，t≥0)．[真题链接赏析]　(教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出．以抛出点为原点，水平直线为x轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出