江苏专用版2018-2019学年高中数学4.4.2参数方程与普通方程的互化学案苏教版选修

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1、4.4.2　参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程．2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]1．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(l为参数)，其中参数l的几何意义：有向线段P0P的数量(P为该直线上任意一点)．2．圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)．圆心为M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．3．椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)．[思考·探究]1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】　不一定惟一

2、．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】　①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：______

3、_______________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：____________________________________

4、_________________解惑：_____________________________________________________参数方程化为普通方程　将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．【自主解答】　(1)由x＝，得t＝.代入y＝化简得y＝(x≠1)．(2)由得①2＋②2得＋＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．【解】　(1)∵x＝t＋，∴x2＝t2＋＋2.把y＝t2＋代入得x2＝y＋2.又∵x＝t＋，当t

5、＞0时，x＝t＋≥2；当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴x≥2或x≤－2.∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．(2)可化为两式平方相加，得()2＋()2＝1.即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.普通方程化为参数方程　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)＋＝1，x＝cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)【自主解答】　(1)将x＝cosθ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sinθ.∴(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0

6、得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴(t为参数)，这就是所求的参数方程．[再练一题]2．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】　把x2＋y2＋2x－6y＋9＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.∴参数方程为(θ为参数).利用参数求轨迹方程　过A(1,0)的动直线l交抛物线y2＝8x于M，N两点，求MN中点的轨迹方程．【思路探究】　设出直线MN的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t的几何意义及根与

7、系数的关系解题．【自主解答】　直线MN方程(α≠0，t为参数)代入y2＝8x，得t2sin2α－8tcosα－8＝0.设M，N对应参数为t1，t2，MN中点G的参数为t0，则t0＝(t1＋t2)＝，∵消去α得y2＝4(x－1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l的几何意义．[再练一题]3．经过点A，倾斜角为α的直线l与圆x2＋y2＝25相交

8、于B、C两点．(1)求弦BC的长；(2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；(3)当BC＝8时，求直线BC的方程；(4)当α变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．【解】　取AP＝t为参数(P为l上的动点)，则l的参数方程为代入x2＋y2＝25，整理，得t2－3(2cosα＋sinα)t－＝0.∵Δ＝9(2cosα＋sinα)2＋55>0恒成立，∴方程必有相异两实根t1，t2，且t1＋t2＝3(2cosα＋si