《4.4.2 参数方程与普通方程的互化》习题

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1、1．将下列参数方程化为普通方程：(1)(θ为参数，a、b为常数，且a＞b＞0)；(2)(t为参数，p为正常数)．【解】(1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得＋＝1，这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆．(2)由已知t＝，代入x＝2pt2得·2p＝x，即y2＝2px，这是一条抛物线．2．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，求r的值．【解】由得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F(2，0)，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相

2、切，由题意得r＝＝.3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，求常数k的值．【解】将化为普通方程为y＝－x＋，斜率k1＝－，当k≠0时，直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－，由k1k2＝(－)×(－)＝－1得k＝－6；当k＝0时，直线y＝－x＋与直线4x＝1不垂直．综上可知，k＝－6.4．过椭圆＋＝1内一定点P(1，0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝k(x－1)，代入方程＋＝1，得(9k2＋4)x2－18k2x＋9k2－36＝0.由根与系数的关系，得x1＋

3、x2＝，所以∴＝－k，即k＝－，代入y＝k(x－1)中，得4x2＋9y2－4x＝0，即＋＝1.①当AB⊥Ox轴时，线段AB的中点为(1，0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为＋＝1.点M的轨迹是以O、P为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．5．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，α∈R)，点M(5，4)在该曲线上，(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．【解】(1)由题意，可知故所以a＝1.(2)由已知及(1)得，曲线C的方程为由①得t＝，代入②得y＝()2，即(x－1)2＝4y为所求．6．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正

4、半轴重合，曲线C1：ρcos(θ＋)＝2与曲线C2：(t∈R)交于A、B两点．求证：OA⊥OB.【证明】曲线C1的直角坐标方程为x－y＝4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两个方程联立，消去x，得y2－4y－16＝0⇒y1y2＝－16，y1＋y2＝4.∴x1x2＋y1y2＝(y1＋4)(y2＋4)＋y1y2＝2y1y2＋4(y1＋y2)＋16＝0，∴·＝0，∴OA⊥OB.7．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹．【解】设点M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，则

5、①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2(y′＋)，∴所求点P的轨迹方程为x2＝2(y＋)(x≤，y≤)．它是顶点为(0，－)，开口向上的抛物线的一部分．教师备选8．在平面直角坐标系xOy中，求圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝2.若直线l与圆C相切，求r的值．【解】将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x－y－4＝0，将圆C的参数方程化为普通方程得：(x＋1)2＋y2＝r2，由题设知：圆心C(－1，0)到直线l的距离为r，即r＝＝，即r的值为.