2020高考数学刷题首选卷 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试39 数学归纳法 理（含解析）

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1、考点测试39　数学归纳法高考概览考纲研读1．了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)A．1B．2C．3D．0答案　C解析　边数最少的凸n边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案　B解析　当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a．故选B．3．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式

2、成立．②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1．所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　)A．过程全都正确B．n＝1检验不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案　D解析　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D．4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋

3、＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋…＋，共增加了2k项．5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立答案　C解析　假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立，而n＝5，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立，故选C．6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)A．7B．8C．9D．1

4、0答案　B解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8．故选B．7．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是(　　)A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)答案　D解析　①当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．②假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k∈N*都成立．故选D．8．设f(n)＝＋＋…＋，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　)A．B．C．＋D．－答案　D解析　f(n

5、＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋－－－…－＝＋－＝－．9．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)答案　B解析　因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确．10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋

6、n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c答案　A解析　∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝．11．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．答案　an＝解析　因为Sn＝n(2n－1)an，当n＝2，3，4时，得出a2＝，a3＝，a4＝．a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝．∴an＝．12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用

7、数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝________．答案　＋＋…＋解析　∵f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，f(2k)＝1＋＋＋…＋，∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋．二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题13．(2018·山东淄博质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2