2019高考数学二轮复习 第14讲 圆锥曲线中的综合问题练习 理

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1、第14讲　圆锥曲线中的综合问题1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2(x-1)(x≤1)与C,l分别交于P,Q两点,则

2、PQ

3、

4、PF

5、=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2B.2C.5D.52.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若

6、PF1

7、=6

8、OP

9、,则C的离心率为(　　)A.5B.2C.3D.23.(2018长春质量检测(二))已知椭圆x24+y23=1的左、右

10、焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为　　　　. 4.(2018湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值.5.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(

11、1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(2018成都第一次诊断性检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),长半轴与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.7.(2018西安八校联考)已知直线l:x=my+1过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,抛物线x2=43y的焦点为椭

12、圆C的上顶点,且l交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线x=4上的射影依次为D,K,E.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l交y轴于点M,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,当m变化时,证明:λ1+λ2为定值;(3)当m变化时,直线AE与BD是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;若不是,请说明理由.答案全解全析1.C　由y2=4x知抛物线的焦点F(1,0),准线l:x=-1,设l与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由x=-1,y=2(x-1),x≤1,得点Q的坐标为(-1,-4),所以

13、FQ

14、=25.

15、又

16、PF

17、=

18、PP1

19、,所以

20、PQ

21、

22、PF

23、=

24、PQ

25、

26、PP1

27、=

28、QF

29、

30、FF1

31、=252=5,故选C.2.C　本题考查双曲线的几何性质.点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离

32、PF2

33、=bca-01+ba2=b(b>0),而

34、OF2

35、=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得

36、OP

37、=c2-b2=a,所以

38、PF1

39、=6

40、OP

41、=6a.在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=

42、PF2

43、

44、OF2

45、=bc,在△F1F2P中,cos∠PF2O=

46、PF2

47、2+

48、F1F2

49、2-

50、PF1

51、22

52、PF2

53、·

54、F1F2

55、=b2+4c2-6a22

56、b·2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc⇒3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.3.答案　34解析　不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故

57、AB

58、=3,所以△ABF1内切圆的半径r=2SC=68=34(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长4a=8).4.解析　(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则b=23.由ca=12,a2=c2+b2,得a=4,∴椭

59、圆C的方程为x216+y212=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t.代入x216+y212=1,得x2+tx+t2-12=0,由Δ>0,解得-4

60、x1-x2

61、=(x1+x2)2-4x1x2=t2-4(t2-12)=48-3t2.∴四边形APBQ的面积S=12×6×

62、x1-x2

63、=348-3t2.∴当t=0时,S取得最大值,且Smax=123.5.解析　(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0)

64、,NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n)