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《2019届高考数学二轮复习 专题四 第3讲 圆锥曲线综合问题学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲圆锥曲线综合问题1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．1．圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．2．定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过
2、定点(0，m)．(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．3．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论．热点一 圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018·济宁期末)已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且OA⋅OB=-3，直线AO，BO分别交直线y=-1于点M，N．(1)
3、求抛物线C的方程；(2)求S△OMN的最小值．解（1）抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F0,p2，Ax1,y1，Bx2,y2设直线AB的方程为：y=kx+p2，联立直线AB与抛物线C的方程可得：y=kx+p2x2=2py，整理得：x2-2pkx-p2=0，所以x1+x2=2pk，x1⋅x2=-p2，y1y2=kx1+p2kx2+p2=k2x1x2+p2kx1+x2+p24=p24，因为OA⋅OB=-3，且OA=x1,y1，OB=x2,y2，所以x1⋅x2+y1y2=-3，即-p2+p24=-3，解得：p=2．所以抛物线C的方程为：x2=4y。（2
4、）直线OA的方程为：y=y1x1x，直线OB的方程为：y=y2x2x，联立y=y1x1xy=-1得：x=-x1y1，所以M-x1y1,-1，联立y=y2x2xy=-1得：x=-x2y2，所以N-x2y2,-1，所以MN=x2y2-x1y1=x2y1-x1y2y2y1=x2kx1+p2-x1kx2+p2y1y2=x1-x2=x1+x22-4x1⋅x2，所以SΔOMN=12×1×x1-x2=12x1+x22-4x1⋅x2=124k2+16≥2，当k=0时，等号成立．所以S△OMN的最小值为2．探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题
5、目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．【训练1】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解 (1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝．又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1．故E的方程为＋y2＝1．(2)当
6、l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0．当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝．从而
7、PQ
8、＝
9、x1－x2
10、＝．又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·
11、PQ
12、＝．设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝．因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0．所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2．热点二 圆锥曲线中的存在性问题【例2】(2019·广州一模)已知动圆C过定点F(1,
13、0)，且与定直线x=-1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）过点M-2,0的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P,Q，试探究在x轴上是否存在定点N（异于点M），使得∠QNM+∠PNM=π？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．解（1）解法1：依题意动圆圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，其中p=2．∴动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x．解法2：设动圆圆心Cx,y，依题意：x-12+y2=x+1．化简得：y2=4x，即为动圆圆心C
14、的轨迹E的方程．（2）解：假设存在点Nx0,0满足题设条件．由∠QNM+∠PNM=π可知，直线PN与QN的斜
