2018年高考数学二轮复习 考前专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题讲学案 理

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1、第3讲　圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一　范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1　(2017届日照模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B.以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O

2、相交得到的弦长为.设点P，连接PA交椭圆于点C，坐标原点为O.(1)求椭圆E的方程；(2)若△ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求的最小值．解　(1)因为以F1F2为直径的圆O过点D，所以b＝c，则圆O的方程为x2＋y2＝b2，又a2＝b2＋c2，所以a＝b，直线DB的方程为y＝－x＋b，直线DB与圆O相交得到的弦长为，则2＝，所以b＝1,a＝，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由(1)得a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，设直线PA的方程为y＝(x＋)，由整理得x2＋2t2x＋2t2－8＝0，解得x1＝－，x2＝，则点C的坐标是，故直线BC的斜

3、率为kBC＝－，由于直线OP的斜率为kOP＝，所以kBC·kOP＝－1，所以OP⊥BC.所以SOBPC＝××＝，S△ABC＝×2×＝，所以≤，整理得2＋t2≥4，≥，所以min＝.思维升华　解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1　(2017届福建省宁德市质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M到点N距离的最小值为.(1)求抛物线C的

4、方程；(2)若x0>2，圆E：2＋y2＝1，过M作圆E的两条切线分别交y轴于A，B两点，求△MAB面积的最小值．解　(1)∵＝，又∵y＝2px0，∴2＝x－4x0＋4＋2px0＝x－2x0＋4＝2＋4－2.∵x0≥0，∴当2－p≤0，即p≥2时，min＝2，不符合题意，舍去；当2－p>0，即0

5、0x－x0＝0的两根，∴a＋b＝－，ab＝－，∴＝＝.∵x0>2，∴S△MAB＝·＝＝＝x0＋2＋＝x0－2＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时，取最小值8.热点二　定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2　(2017·长沙市长郡中学模

6、拟)已知抛物线E：y2＝4x的准线为l，焦点为F，O为坐标原点．(1)求过点O，F，且与l相切的圆的方程；(2)过F的直线交抛物线E于A，B两点，A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．(1)解　抛物线E：y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点坐标为F(1,0)，设所求圆的圆心C为(a，b)，半径为r,∵圆C过O，F，∴a＝，∵圆C与直线l：x＝－1相切，∴r＝－＝.由r＝＝＝，得b＝±.∴过O，F且与直线l相切的圆的方程为2＋2＝.(2)证明　方法一　依题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y＝k，A，B，A′，联立消去y，得k2x2

7、－x＋k2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1.∵直线BA′的方程为y－y2＝，∴令y＝0，得x＝＝＝＝－1.∴直线BA′过定点.方法二　设直线AB的方程为x＝my＋1,A，B，则A′.由得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m,y1y2＝－4.∵kBA′＝＝＝，∴直线BA′的方程为y－y2＝.∴y＝(x－x2)＋y2＝x＋y2－＝x＋＝x＋＝(x＋1)．∴直线BA′过定点(－1,0)．思维升华　(1)动线过定点问题的两大类型及解法①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故

8、动直线过定点(－m,0)．②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程