交错级数敛散性判别判别探究

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1、交错级数敛散性判别判别探究交鉛级数敛散性判别探究摘要：交错级数是数学分析重要内容之一，对交错级数敛散性的判别方法在教材中并不多，关于交鉛级数的敛散性判別文中总结出i些判別准则，包括教材以外的英它判別准则，利用其中一些准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性，而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛，并选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验•关键词：交错级数；判别准则；收敛；发散ConvergeneeandDivergeneeofAlternotingSeriesExploringDiscriminatcAbstractAlternatingseriesisoneo

2、fimportemtcontentsinmathematicalanalysis,attheprosent，therearcnotmanycritcrionsaboutconvGrgonccoronthesebutalsoSelectedcriterions,someofconvergencecriterionsabsoluteconvergentorsomeexamplestotestdivergenceofalternatingseries.Establishedseveralcriterionstodecideconvergeneeordivergeneeof

3、alternating,duringphasethemareoutsidetheteachingmaterial.Basedcandecidenotonlyconvergeneeordivergeneeconditionalconvergentofalternatingseries,thefeasibilityoftheproposedcriterion.Keywordsalternatingseries;criterion;convergence;divergenceT-1引言及预备知识在许多数学分析和高等数学教材中，对级数敛散性的判别是一个重要内容，特别介绍了一

4、类特殊级数.定义1考虑如下的级数(1)n1nlunulu2(l)nlun(其中un0)(1)我们称这样的级数为交错级数.交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材屮给出了莱布尼玆判别法.引理1(莱布尼玆判别法)对于交错级数(1)若满足两个条件：①数列｛un｝单调递减；②n0时un0,则交错级数(1)收敛.对于莱布尼玆判别法的证明在教材中都已给出，在这里就不作介绍，但在应用莱布尼玆判別法时应注意以下两点：第一注意莱布尼玆判別法的条件是交鉛级数收敛的充分条件而不是必耍条件，如杲数列Rm｝不满足单调递减性时不能判定级数(1)式发散.第二根据

5、莱布尼玆判别法我们需要判别数列(un｝是否单调递减，判别数列｛un｝是否单调递减常用的方法有3种：一是讨论unun1的的符号情况；二是讨论比值unn1与1的大小情况；三是构造函数u(x)使得u(x)un,利用函数的单调性得到数列｛un｝的单调性.但莱布尼玆判别法在使用是存在着局限性，对于交错级数敛散性的判别除了我们比较熟悉的莱布尼玆判别法之外，还有其它一些判别方法.2最一般情形的判别方法对交错级数敛散性的判别最一般悄形的判别方法就是满足所冇级数敛散性判别的方法，常见的方法有定义法，即判断级数部分和数列｛Sn｝是否收敛来判断交错级数是否收敛.同时，柯四收敛准则的推论也

6、是非常有用的，即级数收敛的必要条件是：如果limun0,则级数发散.n12n的敛散性.例1判别级数101201100n1nil0,所以级数(l)n1解此级数为交错级数，因为limun发散.(l)n例2判别级数的敛散性•nn2n(解此级数为交错级数，但不满足unun减，再证其有下界.llllllS2n()因为32542n12n()(),1111111S2n()()S2nSn2342n12n2n12-1-乂limunlimn10,因此limS2n级数nnnnn(l)nn100n1100100nIn1收敛.1)1,设S2n为级数的部分和，先证S2n单调递括号内各项均小于0

7、,因而S2n单调递减，乂,即S2n有下界,故limS2n存在，设lim(S2nU2n1)S,从而limS2nS,故原的敛散性.解此级数为交错级数，设S2n为级数的部分和.V2-IV2+1y/n+1+1llS2n2(1)2n111而级数发散，故1imS2n1im2(1),所以原级数发散.nn2nnIn例3近_逅+15/3-1齿+1y/n+13绝对收敛情形下交错级数敛散性的判别根据文献［1］与［2］中介绍的绝对收敛的级数一定收敛，则可以把判别交错级数(1)的敛散性转变为判别正项级数的敛散性，在文献［1］与［2］中对正项级数敛散性的判别方法介绍了很多种，比如定义法、