[理学]实验指导书_插值法2

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1、1.埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB程序如果已知函数于（兀）在”+1个互异点％o,兀］,兀2,£处存在的函数值f（x）=yf（丿=0,1,…，”）和导数值fxj）=y.（J=0,1,・・・，〃），则函数/（x）在点兀0，西,兀2,…,暫处的加+1阶埃尔米特插值多项式和误差公式为：丹2心（兀）=工（勺⑴儿+Q（X）儿）j=o其屮勺（兀）,0/（兀）,（）=0,1,・・・,比）为Hermite插值基函数，有n]a•(兀)=[1—2(%一x.)y—/=0Xj一Xji*j/3j(x)=(x-Xj)l：(x)nX—x心+1（兀）=/（兀）一

2、仏“+1（兀）f（2〃+2）/二——（兀一兀0）2（兀一州）2・・・（％—£）2,其中£丘（Q,b）与兀有关.（2n+2）I可用如下主程序计算.输入的量：比+1个节点(兀・,/(兀))(i=l,2,・・・,〃+l)横坐标向量X,纵坐标向量Y,以/©)二y；(心1,2,…“+1)为元素的向量X；输岀的量：2斤+1阶埃尔米特插值多项式族及其系数向量He,误差公式wegs及其系数向量Cw.(注意节点下标的变化)function[He,Hk,wcgs,Cw]=hermite(X,Y,Y1)m=length(X);n=m-l;s=0;H=0;q=l;c

3、l=l;L=ones(m,m);G=ones(l,2);fork=l:n+lV=l;fori=l:n+lifk〜二is=s+(l/(X(k)-X(i)));V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));endh=poly(X(k));g=(l-2*h*s);G二g*Y(k)+h*Yl(k);endH=H+conv(G,conv(V,V));b=poly(X(k));b2=conv(b,b);q=conv(q,b2);匸2*n+2;Hc=H;Hk=poly2sym(H);Q=poly2sym(q);endfori=l:tcl

4、二cl*i;endsymsM,wcgs二M*Q/cl;Cw=q/c1;例1给定函数/(尢)在点兀0=龙/6,西=龙/4,兀2=龙/2处的函数值/(x0)=0.5,/(%,)=0.7071,/(X2)=1和导数值/(x0)=0.8660,/(x,)=0.7071,/'(x0)=0.0000,H

5、/在MATLAB工作窗口输入程序»x=1.567;M二1;Hk=6725828781679091/35184372088832*xA5-4078286086775209/4398046511104^x^+7434035571017927/43980465

6、11104*xA3-3162205449085973/2199023255552*xA2+5058863928652835/8796093022208*x-6094057839958843/70368744177664,wcgs=l/720*M^(xA6-11/6^x^*^+7446708432019761/562949953421312*xA4-4363745503235773/281474976710656*xT+21569239021155/2199023255552*xT・7178073637328281/22517998136852

7、48*x+3758430567659515/9007199254740992)运行后输出/(1.567)的近似值加及其误差wegs如下Hk=(X)

8、<1,求函数.f(兀)在点兀,心兀2处的5阶埃尔米特插值多项式比⑴和误差公式，计算/(1.567)并估计其误差.解(1)将下列程序保存名为hermite_expl.m的M文件.clear;X=[pi/6,pi/4,pi/2];Y二[0.5,0.7071,1];Yl=

9、0.8660,0.7071,0];[He,Hk,wcgs,Cw]=hermite(X,Y,Y1)(2)在MATLAB工作窗口运行后输

10、出5阶埃尔米特插值多项式皿及其系数I句量凤，误差公式wegs及其系数向量C”，如卜He=1.0e+003*0.1912-0.92731.6903-1.43800.5751-0.0866Hk=6725828781679091/35184372088832*xA5-4078286086775209/4398046511104*xA4+7434035571017927/4398046511104*xT・3162205449085973/2199023255552*xA2+5058863928652835/8796093022208*x-609405

11、7839958843/70368744177664wegs=l/720*M^(xA6-ll/6*xA5*pi+7446708432019761/5629499534