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1、、埃尔米特(Hermite)插值及其MATLAB程序1.埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB程序如果已知函数/(X)在72+1个互异点兀0,X],兀2,£处存在的函数值.f(兀J=(7=0,1,•••,«)和导数值/'(©)=)((J=0,1,…，兀)，则函数/(%)在点兀0，州，兀2,£处的加+1阶埃尔米特插值多项式和误差公式为：丹2“+心)=工(勺⑴儿+0(兀)儿)其屮勺(无),0丿(兀),()=0,1,•••,/?)为Hermite插值基函数，冇aj(x)=(l-2(x-x/)z1切*v/?y(x)=(x-x.)/J(x)”X—X何二H丄虽
2、匸0兀一兀&jJ1心+心)二/⑴-丹2“⑴(2”+2)@)(2/1+2)!(x_Xq)2(X一兀1)2…(兀一Xn)2,其中se(a,b)与兀有关.可用如下主程序计算.输入的量：巾+1个节点(xz,/(x;.))(z=+横坐标向量X,纵坐标向量丫，以广(兀)=y-(i=1,2,•••,〃+1)为元素的向量『1；输出的量：2〃+1阶埃尔米特插值多项式及其系数向量He,误差公式wcg$及其系数向量Cw.(注意节点下标的变化)function[He,Hk,wcgs,Cw]=hermite(X,Y,Y1)m=length(X);n=m-l;s=0;H=0;q=
3、l;cl=l;L=ones(m,m);G=ones(l,2);fork=l:n+lV=l;fori=l:n+l讦k~=is=s+(l/(X(k)-X(i)));V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));endh=poly(X(k));g=(l-2*h*s);G=g*Y(k)+h*Yl(k);endH=H+conv(G,conv(V,V));b=poly(X(k));b2=conv(b,b);q=conv(q,b2);t=2*n+2;Hc=H;Hk=poly2sym(H);Q=poly2sym(q);endfori=l:tcl=c
4、l*i;endsymsM,wcgs=M*Q/cl;Cw=q/c1;例1给定函数.f(x)在点％=兀/6,X]=兀/4,兀2=71H处的函数值/(xo)=O.5,/(x,)=0.707l,/(x2)=1和导数值f(x0)=0.8660,f(xj=0.7071,/'(x0)=0.0000,a
5、/<6)(x)
6、<1,求函数.f⑴在点x0,xpx2处的5阶埃尔米特插值多项式H,(x)和误差公式，计算/(1.567)并估计其误差.解(1)将卜列程序保存名为hermite_expl.m的M文件.clear;X=[pi/6,pi/4,pi/2];Y二[().5,()
7、.7071,1];Yl=[0.8660,0.7071,0];[He,Hk,wcgs,Cw]=hermite(X,Y,Y1)(2)在MATLAB工作窗口运行后输出在MATLAB工作窗口输入程序»x=1.567;M=l;Hk=6725828781679091/35184372088832*xA5-4078286086775209/4398046511104*xA4+7434035571017927/4398046511104*xA3-3162205449085973/2199023255552*xA2+5058863928652835/8796093022
8、208*x-6094057839958843/70368744177664,wcgs=l/720*M*(xA6-ll/6*xA5*pi+7446708432019761/562949953421312*xA4-4363745503235773/281474976710656*xA3+21569239021155/2199023255552*xA2-7178073637328281/2251799813685248*x+3758430567659515/9007199254740992)运行后输出/(l.567)的近似值HR及其误差wegs如下Hk=2.
9、5265wegs=1.3313e-008阶埃尔米特插值多项式皿及其系数向量凤，谋差公式wcg$及其系数向量G，如bHc=1.0e+003*0.1912-0.92731.6903-1.43800.5751-0.0866Hk=6725828781679091/35184372088832*xA5-4078286086775209/4398046511104*xA4+7434035571017927/4398046511104*xA3-3162205449085973/2199023255552*xA2+5058863928652835/8796093022
10、208*x-6094057839958843/70368744177664wegs=1/720
