江苏省2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案

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1、第3讲　解析几何的综合问题[考情考向分析]　江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．热点一　最值、范围问题例1　(2018·南通模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为m，(1)若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(－2

2、,0)，设B，M，N是椭圆上的三点，且＝＋，求以线段MN的中点为圆心，过A，F两点的圆的方程．解　(1)设直线m与x轴的交点是R，依题意FR≥FA，即－c≥a＋c，≥a＋2c，≥1＋2，≥1＋2e，2e2＋e－1≤0,0

3、＋2＝.思维升华　处理求最值的式子常用两种方式(1)转化为函数图象的最值．(2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)．跟踪演练1　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值．解　(1)由已知得＝，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，椭圆C的标准方程是＋y2＝1.(2)设l与x轴

4、的交点为D(n,0)，直线l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0，Δ＝16(m2－n2＋4)＞0，y1,2＝，所以＝－，y1y2＝，所以＝＝，即H，由OH＝1，得n2＝，则S△POQ＝·OD·

5、y1－y2

6、＝

7、n

8、

9、y1－y2

10、，n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝12×16×.设t＝4＋m2(t≥4)，则＝＝≤，当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1，所以△POQ面积的最大值为1.热点二　定点问题例2　(2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A，B是椭圆＋＝1的长轴顶点，P，Q是椭圆上的两

11、点，且满足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率．(1)求证：直线AP和BQ的交点R在定直线上；(2)求证：直线PQ过定点．证明　(1)根据题意，可设直线AP的方程为y＝kAP(x－2)，直线BQ的方程为y＝kQB(x＋2)，则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足＝2，即x0＝6.因此直线AP和BQ的交点R在定直线x＝6上.(2)由(1)，可设点R的坐标为(6，m)，则直线AP的方程为y＝(x－2)，直线BQ的方程为y＝(x＋2)，联立方程得(m2＋12)x2－4m2x＋4(m2－12)＝0，设P(xP，yP)，则根据根与系数的关系，得2×xP＝，即xP＝，代入直

12、线AP的方程得，yP＝，故P.联立方程得(m2＋48)x2＋4m2x＋4(m2－48)＝0，设Q(xQ，yQ),则－2×xQ＝，即xQ＝，代入直线BQ的方程得，yQ＝，故Q，当＝，即m2＝24时，直线PQ与x轴的交点为T，当≠，即m2≠24时，下面证直线PQ过点T.kPT－kQT＝－＝－＝0，故直线PQ过定点T.思维升华　如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．跟踪演练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线A

13、B与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.(1)解　设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，所以k1k2＝·＝＝＝－.(2)解　由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联