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《2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质（第2课时）抛物线简单性质的应用学案（含解析）北师大版选修1 -1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 抛物线简单性质的应用学习目标 1.进一步认识抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点 直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合
2、，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是
3、AB
4、＝·
5、x1－x2
6、＝x1＋x2＋p.( × )3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )题型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点的个数解 由方程组消去
7、y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．(1)若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0且16(1－k2)>0，解得k∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点．(2)若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．(3)若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0.解得k>1或k<－1.所以当k>1或k<－1时，直线l和抛物线C无交点．反思感悟 直线
8、与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点的个数答案 C解析 准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．设l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<
9、k≤1，综上，k的取值范围是[－1,1]．题型二 弦长与中点弦问题例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及
10、P1P2
11、.考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦中点问题解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．由得ky2－6y－24k＋6＝0.当k＝0时，y＝1，显然不成立．当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴y1＋y2＝，y1y2＝.∵P1P2的中点为(4,1)，∴＝2，∴k＝3，适合
12、①式．∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴
13、P1P2
14、＝＝＝.方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．则y＝6x1，y＝6x2，∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，∴＝＝3，∴所求直线的斜率k＝3，故所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴
15、P1P2
16、＝＝·＝.反思感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长
17、AB
18、＝3，
19、求此抛物线的方程．考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线弦长求解相关问题解 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，∴
20、AB
21、＝＝3，即5＝45，∴a＝4或a＝－36，满足Δ>0.∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.题型三 抛物线中的定点(定值)问题例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求
22、证：直线AB过定点．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2
