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《2019-2020年高考数学大一轮复习 13.5数系的扩充与复数的引入 理 苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学大一轮复习13.5数系的扩充与复数的引入理苏教版一、填空题1.复数(2+i)2等于________.解析(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.答案3+4i2.复数z=+,则=________.解析∵z=+===1+i,∴=1-i.答案1-i3.若复数z=(a2+2a-3)+(a-3)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值是________.解析z为纯虚数,需满足解得a=1.答案14.复数z=(m∈R)是纯虚数,则m=________.解析由于z===是纯虚数,因此2
2、+m=0,m=-2.答案-25.若(i是虚数单位)是实数,则实数a的值是________.解析 由==是实数,得a+1=0,所以a=-1.答案 -16.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为________.解析 由==+i为纯虚数,得a+6=0且3-2a≠0,所以a=-6.答案 -67.若复数z满足
3、z-i
4、=1(其中i为虚数单位),则
5、z
6、的最大值为________.解析 设z=x+yi(x,y∈R),则由
7、z-i
8、=1,得x2+(y-1)2=1,由画图可知
9、z
10、的最大值为2.
11、答案 28.在复平面内,复数-3+i和1-i对应的点间的距离为________.解析
12、-3+i-1+i
13、=
14、-4+2i
15、===2.答案 29.已知复数z=x+yi,且
16、z-2
17、=,则的最大值________.解析 由
18、z-2
19、=可得,
20、z-2
21、2=(x-2)2+y2=3.设=k,即得直线方程为kx-y=0,∴圆(x-2)2+y2=3的圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d=≤,解得k∈[-,],即得的最大值为.答案 10.给出下列四个命题:①若z∈C,
22、z
23、2=z2,则z∈R;②若z∈C,=-
24、z,则z是纯虚数;③若z∈C,
25、z
26、2=zi,则z=0或z=i;④若z1,z2∈C,
27、z1+z2
28、=
29、z1-z2
30、,则z1z2=0.其中真命题的个数为________个.解析 设z=a+bi(a,b∈R),若
31、z
32、2=a2+b2=z2=a2-b2+2abi,则所以b=0,所以z∈R,①正确;若z=0,则z不是纯虚数,②错;若a2+b2=-b+ai,则a=0,b=0或b=-1,所以z=0或z=-i,③错;若
33、z1+z2
34、=
35、z1-z2
36、,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
37、则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,整理得:ac+bd=0,所以z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,不一定为零,④错.答案 1二、解答题11.已知复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,根据以下要求求实数m的值或范围:(1)z是纯虚数;(2)z是实数;(3)z对应的点在复平面的第二象限.解(1)由得∴m=3.(2)由得m=-1或-2.(3)由得∴-138、6i,求x,y.解设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或13.已知z是复数,z+2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)239、=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,已知解得2<a<6,∴实数a的取值范围是(2,6).14.设z是虚数,已知ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求40、z41、的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.(1)解 因为ω∈R,所以=ω,所以+=z+,即(z-)=0,因为z为虚数,所以z≠.所以z=1,从而42、z43、2=1,即44、z45、=1.设z=a+bi(a、b∈R),∵46、z47、=1,∴a2+b2=1,∴ω=z+=a+bi+=a+bi+=2a.∵-1<ω<248、,∴-1<2a<2,∴-<a<1.即z的实部取值范围是.(2)证明 (1)因为z=1,所以=.所以u+=+=+=+=0,且u≠0,所以u为纯虚数.(3)解 由(2)可设u=ti(t∈R且t≠0),则由=ti,得z=,所以ω=z+=+=,u2=-t2,所以ω-u2=+t2=1+t2+-3≥2-3=1,当且仅当t2+1=2,t=±1时等号成立,故ω-u2的最小值为1.
38、6i,求x,y.解设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或13.已知z是复数,z+2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2
39、=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,已知解得2<a<6,∴实数a的取值范围是(2,6).14.设z是虚数,已知ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求
40、z
41、的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.(1)解 因为ω∈R,所以=ω,所以+=z+,即(z-)=0,因为z为虚数,所以z≠.所以z=1,从而
42、z
43、2=1,即
44、z
45、=1.设z=a+bi(a、b∈R),∵
46、z
47、=1,∴a2+b2=1,∴ω=z+=a+bi+=a+bi+=2a.∵-1<ω<2
48、,∴-1<2a<2,∴-<a<1.即z的实部取值范围是.(2)证明 (1)因为z=1,所以=.所以u+=+=+=+=0,且u≠0,所以u为纯虚数.(3)解 由(2)可设u=ti(t∈R且t≠0),则由=ti,得z=,所以ω=z+=+=,u2=-t2,所以ω-u2=+t2=1+t2+-3≥2-3=1,当且仅当t2+1=2,t=±1时等号成立,故ω-u2的最小值为1.
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