2016高考数学大一轮复习 13.5数系的扩充与复数的引入 理 苏教版

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1、第6讲数系的扩充与复数的引入一、填空题1．复数(2＋i)2等于________．解析(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝3＋4i.答案3＋4i2．复数z＝＋，则＝________.解析∵z＝＋＝＝＝1＋i，∴＝1－i.答案1－i3．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a－3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．解析z为纯虚数，需满足解得a＝1.答案14．复数z＝(m∈R)是纯虚数，则m＝________.解析由于z＝＝＝是纯虚数，因此2＋m＝0，m＝－2.答案－25．若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是________．解析　由＝＝是实

2、数，得a＋1＝0，所以a＝－1.答案　－16．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．解析　由＝＝＋i为纯虚数，得a＋6＝0且3－2a≠0，所以a＝－6.答案　－67．若复数z满足

3、z－i

4、＝1(其中i为虚数单位)，则

5、z

6、的最大值为________．解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由

7、z－i

8、＝1，得x2＋(y－1)2＝1，由画图可知

9、z

10、的最大值为2.答案　28．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．解析　

11、－3＋i－1＋i

12、＝

13、－4＋2i

14、＝＝＝2.答案　29．已知复数z＝x＋yi

15、，且

16、z－2

17、＝，则的最大值________．解析　由

18、z－2

19、＝可得，

20、z－2

21、2＝(x－2)2＋y2＝3.设＝k，即得直线方程为kx－y＝0，∴圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到直线kx－y＝0的距离d＝≤，解得k∈[－，]，即得的最大值为.答案　10．给出下列四个命题：①若z∈C，

22、z

23、2＝z2，则z∈R；②若z∈C，＝－z，则z是纯虚数；③若z∈C，

24、z

25、2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，

26、z1＋z2

27、＝

28、z1－z2

29、，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________个．解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，若

30、z

31、2＝a2

32、＋b2＝z2＝a2－b2＋2abi，则所以b＝0，所以z∈R，①正确；若z＝0，则z不是纯虚数，②错；若a2＋b2＝－b＋ai，则a＝0，b＝0或b＝－1，所以z＝0或z＝－i，③错；若

33、z1＋z2

34、＝

35、z1－z2

36、，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)．则(a＋c)2＋(b＋d)2＝(a－c)2＋(b－d)2，整理得：ac＋bd＝0，所以z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，不一定为零，④错．答案　1二、解答题11．已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，根据以下要求求实数m的值或范

37、围：(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点在复平面的第二象限．解(1)由得∴m＝3.(2)由得m＝－1或－2.(3)由得∴－1

38、、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，已知解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2,6)．14．设z是虚数，已知ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.(1)求

39、z

40、的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝，求证：u为纯虚数；(3)求ω－u2的最小值．(1)解　因为ω∈R，所以＝ω，所以＋＝z＋，即(z－)＝0，因为z为虚数，所以z≠.所以z＝1，从而

41、z

42、2＝1，即

43、z

44、＝1.设z＝a＋b

45、i(a、b∈R)，∵

46、z

47、＝1，∴a2＋b2＝1，∴ω＝z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝2a.∵－1＜ω＜2，∴－1＜2a＜2，∴－＜a＜1.即z的实部取值范围是.(2)证明　(1)因为z＝1，所以＝.所以u＋＝＋＝＋＝＋＝0，且u≠0，所以u为纯虚数．(3)解　由(2)可设u＝ti(t∈R且t≠0)，则由＝ti，得z＝，所以ω＝z＋＝＋＝，u2＝－t2，所以ω－u2＝＋t2＝1＋t2＋－3≥2－3＝1，当且仅当t2＋1＝2，t＝±1时等号成立，故ω－u2的最小值为1.