江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 应用题达标训练（含解析）

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1、应用题A组——大题保分练1.在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示)，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．(1)若BC＝a＝10，求储存区域△ABC面积的最大值；(2)若AB＝AC＝10，在折线MBCN内选一点D，使DB＋DC＝a＝20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值．解：(1)设AB＝x，则AC＝，所以S△ABC＝x＝≤＝×50＝25，当且仅当x2＝100－x2，即x＝5时取等号，所以S△ABC取得最大值为25.(2)由DB＋DC＝20知点D在

2、以B，C为焦点的椭圆上．因为S△ABC＝×10×10＝50，所以要使四边形DBAC的面积最大，只需△DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．由BC＝10得短半轴长为5，所以S△DBC的最大值为×10×5＝50.因此四边形DBAC面积的最大值为100.2.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A，B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64

3、的总造价表示为x的函数f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A，B除外)应建多少个桥墩？解：(1)由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x米，知中间共有个桥墩，于是桥的总造价f(x)＝640＋＋100，即f(x)＝x＋x－x＋1380＝x＋x－x＋1380(64

4、)时，f′(x)>0，所以当x＝80时，桥的总造价最低，此时桥墩数为－1＝7.3．如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON＝60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3km.设OA＝akm，OB＝bkm.(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为km，到点O的距离PO为km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．解：(1)∵OA＋OB＋AB＝3，

5、∴AB＝3－a－b.∵∠MON＝60°，由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos60°.∴(3－a－b)2＝a2＋b2－ab.整理，得b＝.由a>0，b>0,3－a－b>0，及a＋b>3－a－b，a＋3－a－b>b，b＋3－a－b>a，得0

6、∈.答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，此时a＝(km)．4．(2018·南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a

7、＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20)．因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25)2＋2112.5，故当x＝16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．(2)包装盒子的体积V＝(a－2x)(b－2x)x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60.V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)＝x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x，当且仅当a＝b＝

8、60时等号成立．设f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30)．则f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上单调递增；当10＜x＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上单调递减．因此当x＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，此时a＝b＝60，x＝10.答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最