江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 数列 4.3 大题考法—数列的综合应用达标训练（含解析）

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1、数列的综合应用A组——大题保分练1．设数列{an}的前n项和为Sn，且(Sn－1)2＝anSn.(1)求a1；(2)求证：数列为等差数列；(3)是否存在正整数m，k，使＝＋19成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．解：(1)n＝1时，(a1－1)2＝a，∴a1＝.(2)证明：∵(Sn－1)2＝anSn，∴n≥2时，(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn，∴－2Sn＋1＝－Sn－1Sn，∴1－Sn＝Sn(1－Sn－1)，∴＝，∴－＝－＝＝－1为定值，∴为等差数列．(3)∵＝－2，∴＝－2＋(n－1)×(－1)＝－n－1，∴Sn＝，∴an＝＝.假设存在

2、正整数m，k，使＝＋19，则(k＋1)2＝m(m＋1)＋19，∴4(k＋1)2＝4m(m＋1)＋76，∴[(2k＋2)＋(2m＋1)][(2k＋2)－(2m＋1)]＝75，∴(2k＋2m＋3)(2k－2m＋1)＝75＝75×1＝25×3＝15×5，∴或或∴或或2．已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1＝1，Sn＋1＝Sn＋(λ·3n＋1)an＋1(n∈N*)．(1)若λ＝0，求数列{an}的通项公式；(2)若an＋1

3、∵an>0，∴Sn>0，∴an＋1＝an.∵a1＝1，∴an＝1.(2)∵Sn＋1＝Sn＋(λ·3n＋1)an＋1，an>0，∴－＝λ·3n＋1，则－＝λ·3＋1，－＝λ·32＋1，…，－＝λ·3n－1＋1(n≥2)相加，得－1＝λ(3＋32＋…＋3n－1)＋n－1，则Sn＝·an(n≥2)．上式对n＝1也成立，∴Sn＝·an(n≥N*)．③∴Sn＋1＝·an＋1(n≥N*)．④④－③，得an＋1＝·an＋1－·an，即·an＋1＝·an.∵λ≥0，∴λ·＋n>0，λ·＋n>0.∵an＋1

4、对一切n∈N*恒成立．记bn＝，则bn－bn＋1＝－＝.当n＝1时，bn－bn＋1＝0；当n≥2时，bn－bn＋1>0，∴b1＝b2＝是{bn}中的最大项．综上所述，λ的取值范围是.3．在数列中，已知a1＝1，a2＝2，an＋2＝(k∈N*)．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2n＝mS2n－1？若存在，求出所有的正整数对(m，n)；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，数列的奇数项是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a2＝2为首项，公比为3的等比数列．所以对任意正整数k，a2k－1＝2k－

5、1，a2k＝2×3k－1.所以数列的通项公式为an＝(k∈N*)．(2)S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3n＋n2－1，n∈N*.S2n－1＝S2n－a2n＝3n－1＋n2－1.假设存在正整数m，n，使得S2n＝mS2n－1，则3n＋n2－1＝m(3n－1＋n2－1)，所以3n－1(3－m)＝(m－1)(n2－1)，(*)从而3－m≥0，所以m≤3,又m∈N*，所以m＝1,2,3.当m＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立；当m＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n2－1)＝0，n＝1，所以S2＝3S1；当m

6、＝2时，(*)式可化为3n－1＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，则存在k1，k2∈N，k1

7、否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”．解：(1)①由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－1＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.②数列{an}不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m

8、得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－