江苏省2019届高考数学专题四数列4.2大题考法—等差、等比数列的综合问题达标训练

《江苏省2019届高考数学专题四数列4.2大题考法—等差、等比数列的综合问题达标训练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、等差、等比数列的综合问题A组——大题保分练1．(2018·苏州期中)已知等比数列{an}的公比q>1，满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值．解：(1)∵a3＋2是a2，a4的等差中项，∴2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，∴a2＋a4＝20，∴解得或∵q>1，∴∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)∵bn＝anlogan＝2

2、nlog2n＝－n·2n，∴Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，①2Sn＝－(1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)，②②－①得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1.∵Sn＋n·2n＋1>62，∴2n＋1－2>62，∴n＋1>6，n>5，∴使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值为6.2．已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；(2)若

3、{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列．解：(1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8.(2)证明：因为an＋1bn＝Sn＋1，①所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1，②①－②得，an＋1bn－anbn－1＝an，③由③得，bn＝bn－1＋＝bn－1＋，所以bn＋＝.又bn＋≠0(否则{bn}为常数数列，与题意不符)，所以存在实数λ＝，使得{bn＋λ}为等比数列．3．在数列{an}，{bn}中，已知a1＝2，b1＝4，且an，－bn，an＋1成等差数列，bn，－an，bn＋

4、1也成等差数列．(1)求证：{an＋bn}是等比数列；(2)设m是不超过100的正整数，求使＝成立的所有数对(m，n)．解：(1)证明：由an，－bn，an＋1成等差数列可得，－2bn＝an＋an＋1，①由bn，－an，bn＋1成等差数列可得，－2an＝bn＋bn＋1，②①＋②得，an＋1＋bn＋1＝－3(an＋bn)，又a1＋b1＝6，所以{an＋bn}是以6为首项，－3为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋bn＝6×(－3)n－1，③①－②得，an＋1－bn＋1＝an－bn＝－2，④③＋④得，an＝＝3×(－3)n－1－

5、1，代入＝，得＝，所以[3×(－3)n－1－1－m][3×(－3)m＋3]＝[3×(－3)n－1－m][3×(－3)m－1＋3]，整理得，(m＋1)(－3)m＋3×(－3)n＝0，所以m＋1＝(－3)n－m＋1，由m是不超过100的正整数，可得2≤(－3)n－m＋1≤101，所以n－m＋1＝2或4，当n－m＋1＝2时，m＋1＝9，此时m＝8，则n＝9，符合题意；当n－m＋1＝4时，m＋1＝81，此时m＝80，则n＝83，符合题意．故使＝成立的所有数对(m，n)为(8,9)，(80,83)．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，数

6、列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，(n＋2)cn＝－，其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．解：(1)因为数列{an}是公差为2的等差数列，所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1.因为(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，所以cn＝1.(2)证明：由(n＋1)bn＝an＋1－，得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋

7、1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn.从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]＝＋(n＋1)bn＝＋(n＋1)bn＝(bn＋bn＋1)，因此cn＝(bn＋bn＋1)．因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ.所以(n＋1)λ＝an＋1－，①(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②②－①得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ，故an＋1－an＝2λ(n≥2)．又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(

8、n≥1)．所以数列{an}是等差数列．B组——大题增分练1．(2018·盐城三模)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝λ，满足a2n－1，a2n－1＋1，a2n－1＋2，…，a2n是等差数列(其中n≥2，n∈N)，且当n为奇数时，公差为d；当n为偶数时，公差为