江苏省2019高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.3 大题考法—椭圆达标训练（含解析）

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1、椭圆A组——大题保分练1.如图，圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且MN＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆T：＋＝1相交于两点A，B，连结AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.解：(1)设圆C的半径为r，依题意得，圆心坐标为(r,2)．∵MN＝3，∴r＝，∴r＝，∴圆C的方程为2＋(y－2)2＝.(2)证明：把y＝0代入方程2＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，即点M(1,0)，N(4,0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.

2、②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立方程消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴kAN＋kBN＝＋＝＋＝.∵(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝0，∴kAN＋kBN＝0，∴∠ANM＝∠BNM.综上所述，∠ANM＝∠BNM.2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>

3、0)的左顶点为A(－2,0)，离心率为，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．解：(1)由题意可得：即从而有b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0,因为x＝－2为该方程的一个根，解得B，设C(0，y0)，由kAC·kBC＝－1，得·＝－1，即(3＋4k2)y－12ky0＋(16k2－12)＝

4、0.(*)由AC＝BC，即AC2＝BC2，得4＋y＝2＋2，即4＝2＋2－y0，即4(3＋4k2)2＝(6－8k2)2＋144k2－24k(3＋4k2)y0，所以k＝0或y0＝，当k＝0时，直线l的方程为y＝0，当y0＝时，代入(*)得16k4＋7k2－9＝0，解得k＝±，此时直线l的方程为y＝±(x＋2)，综上，直线l的方程为y＝0,3x－4y＋6＝0或3x＋4y＋6＝0.3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的

5、标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．解：(1)由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，所以＋＝1.当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx.由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，所以y2＝，所以OP2＝.因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x.由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2.所以＋＝＋＝1.综上，可知＋＝1.4．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离

6、为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.(1)求椭圆M的方程和直线l的方程；(2)试在圆N上求一点P，使＝2.解：(1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，所以椭圆M的方程为＋＝1.圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①因为直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2,②由直线l

7、：y＝kx＋m与圆N只有一个公共点，得＝，即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③将②代入③得km＝1，④由②④且k>0，得k＝，m＝2.所以直线l的方程为y＝x＋2.(2)将k＝，m＝2代入①，可得A.又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以得交点B(0,2)，设P(x0，y0)，因为＝2，则＝8，化简得7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤又P(x0，y0)满足x＋y－2x0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦将⑦代入⑥得13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，所以

8、P(－1,1)或P.B组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab.(1)若椭圆C的离心率为，求椭圆C的方程；(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q，试判断以PQ为直