罗春桃常微分方程数值解法探究

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1、常微分方程数值解法探究学生姓名：罗春桃学号：3131342118指导教师：邵远夫摘要：自然界与工程技术中的很多问题，通过数学建模往往可以化为常微分方程定解问题。考虑到常微分方程求解析解的复杂性，以及部分偏微分方程问题也可转化为常微分方程问题来近似求解，因此常微分方程的数值解法在实践中应用非常广泛。本文基于常微分方程的基木理论和常用求解方法，对常微分方程的数值求解法进行了探究。主要讨论了几种常用的数值解法,如Euler法、后退Euler法、梯形法、改进Euler法、Runge-Kutta法等，介绍了它们

2、的基本原理，并举例说明了每种解法的关键步骤和注意事项，分析了各自的优缺点。然后简单介绍了数值解法的稳定性与收敛性，并对各种解法做了初步的误差分析，结合例子，通过对各种数值解法进行比较，分析出精度的大小，并将常微分方程数值解法用在工程技术上，取得了较好的效果。关键词：常微分方程；初值问题；数值方法1引言微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程叭常微分方程是现代数学的一个重

3、要分支，在物理学，微分儿何，计算数学，计算机图形，图像处理以及大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等学科中都有许多重要的应用。科学技术发展过程中提出大量的线性与非线性偏微分方程，有意义而且影响深远的微分方程来源，主要是物理与儿何。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解⑹。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数。令方程的解含有的任意元素（即任意常数

4、或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”⑹，一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的，高阶方程中几乎只有少数二阶方程可以求得通解。关于常微分方程初值问题的数值计算方法，许多学者已经做了大量的工作，1768年，EuIer提出了关于常微分方程初值问题的方法，1840年，Cauchy笫一次对初值问题进行了仔细的分析，早期的常微分方程数值解的问题来源于天体力学⑺。Rull（1895年）、IIeun（1900年

5、）和Kutta（1901年）提出了Runge-Kutta方法⑺。对于常微分方程初值问题一般无法求出其解析解，而只能求其近似解，下面通过研究常微分方程初值问题的几种数值解法对其精度和误差进行比较，并分析了其稳定性与收敛性，得出其最优近似解，因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。2常微分方程初值问题的数值解法求微分力程的初值问题(1)^=f(x,y),y(Xo)=yo,的解y=y（x）,可以从初值条件『（勺）=儿出发，按照一定的步长力，依某种方法逐步计算微分方程解y（x）的近似值几匕y（£

6、），这里xtJ=x^n-h.这样求出的解称为数值解山。由于计算机的发展，通过数值解及其相应的图形软件使我们方便简捷地了解微分方程的解随时间及参数变化的形状，而不必直接求出解来，数值解方法成为分析微分方程的有力工具2.1Euler法2.1.1Euler法Euler方法是解初值问题的最简单的数值方法。将方程⑴的两端在区间［兀•，兀•J上积分，得到y（x）dx=£'，+l/（x,y（x））dx,即y（兀+i）=/（兀,〉'（x））d兀⑵应用左矩阵公式得到〉"+1）=歹（无）+E（兀•，＞"））+砒，⑶略去⑶

7、中的尺辭，得y（兀+i）t（兀）+〃（兀*（兀）），⑷设已求得只兀）的1个近似值必，贝ij由式⑷得到y（兀+1）二y（兀）+，y（兀））=x+僻（兀,yj=yM,即X+i=.%+〃（兀+X）（i二0,1,…,n・l）,（5）可依次求出刃，％，…，儿。称式⑸为求解初值问题⑴的Euler公式叫称用Euler公式求解初值问题（1）的方法为Euler方法，又称为Euler折线法。如图1（程序见附录1Euler法）：图1Euler折线图下面通过一个例子对Euler法的精度进行分析：例1用Euler公式求解初值问

8、题=-2xy2(0