处理椭圆最值问题八大策略

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1、处理椭圆最值问题的八大策略数学组陈东生圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广，处理方法灵活等特点为高考命题者在此知识点设计综合问题提供了理论依据。如何选用恰当方法，明晰解题思路，是多数考生亟待解决的问题,笔者,教你“八招"。一：探求变量间的相关函数22例1：点A、B分别是椭圆—+=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，3620且位于尢轴上方，PA丄PF。(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于

2、MB

3、,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。解：(1)略/—m+6(2)直线AP的方程是X-V3V+6=0o设点M(加

4、,0),则M到直线AP的距离是。2ffi+6于是=加+6

5、,又一6冬加冬6,解得加二2。设椭圆上的点倒点M的距离d21549d2=(x-2j+y2=x-4x44+20--x-=停-2),992由于一6b>0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使ZAQB=2(jab求此椭圆离心率的最小值。解：不妨设4(0,0

6、),3(—。,0),Q(x,y),贝x+ax-ay_y利用到角公式及ZAQB=12d｝得：x+ax~a=tanl2tf(xh±q),1+x+ax-a2r>2q>2又点4在椭圆上，故x2-a2=-^y化简得y=^-又注b即竿b2V3c2辰2则4a2(a2-c2)<3c3e4+4e2-4>0^—

7、+吉=1上的点到直线l:x-2y-12=0的最大距离和最小距离.,2I无=4cOS〃解：椭圆飞+$“的参数方程为匸屈辭(0S2”)则椭圆上任意-点P坐标为P(4cos^,2a/3sinff)4心&-4巧-1彳71・・・5(严・•・当sin(£-&)=-1时，d取最大值，即张大值=4^5:d取最小值,即d最小值47599二+匚1°点评：因为椭圆方程为Q2X类似于三角中的同角的平方关系COS2+sin-e=1,故经常用三角代换转化为角的运算，对于解题往往会收到奇效，但一定要注意角的范围.四：利用焦点三角形相关性质求最值例4：己知椭圆C：g+£=l(G>b>0)两个焦点

8、为片，几，如果曲线C上存在一点Q,使斥0丄代0,crZr求椭圆离心率的最小值。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c_PF、_P%_PF+P0_2a==sin90°sinasin/?sin«+cos/?sina+cosa故—'——>—,故椭圆离心率的最小值为血。V2sin(cr+45())22点评：此法求最值问题关键是合理利用焦点三角形正弦定理或余弦定理建立的边角关系，再利用椭圆定义确定其隐含条件，找出其变量关系，建立等式并利用三角函数的有界性解题。五：利用题中数字特殊性由第二定义转化22例5已知定点A(2,1),F(1,0)是椭圆—+—=1的一个焦点，P

9、是椭圆上的点，求

10、PA

11、+3

12、PF

13、m8的最小值.解：椭圆右准线l2：x=9.设P在匚上的射影为D,由椭圆第二定义有=-.：.3PF=PD.:PA^PF^PA+PD.il作AE丄人于E,交椭圆于P3,3~P3使得PA+PD达到最小值为7点评：利用第二定义实现了数据的转化，本小题一般情形假如题设与本题类同，所求的便是PA+-PFe的最小值六：利用椭圆的对称美例6己知—+=1的焦点为F］、F2,在直线/:x+y+6=0上找一点M,求以F］、F?为焦点，通95过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.r2v2所求椭圆为元+汁1

14、・解：F](-2,0)、F2(2,0),Fj关于/的对称点为FjC-6,-4),连接F]>F2交/于点M即为所求，2a=笃I=4^/5,c=2,b2=16,点评：:椭圆是一个很对称的几何图形对称是数学美的一个非常重要的方面，充分发掘儿何图形的对称性，利用数形结合的思想，可以把复杂的运算简单化.七：利用平面几何知识例7：如图，在直线/：x-y+9=0上任意取一点M,经过M点且以椭圆舌+十=1的焦点作椭圆，问当M在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少?解：椭圆的两焦点分别为济（一3,0）、F2（3,0）,作片关于直线1的对称点F；，则直线F、F；的方程为