2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修1 -1

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1、§3.4　导数在实际生活中的应用学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点　生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.1.优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题.(　√　)2.生活中的优化问题都必须利用导数解决.(　×　)3.生活中的优化问题中，若函数只有一个极值点，则它就是最值点.(　√　)类型一　几何中的最值问题例1

2、　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题解　(1)由题意知，包装盒的底面边长为xcm，高为(30－x)cm,0

3、×(30－x)＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，答　若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)＝－2x3＋60x2(00，得0

4、类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练1　在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题解

5、　(1)当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，故S(x)max＝S＝.答　当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米.(2)纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈，a≥b＞0，且ab＝3600.因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30).记f(x)＝4(x3－6

6、0x2＋900x)，x∈(0,30)，则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去).当x∈(0,30)时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16000，也是最大值.答　当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米.类型二　实际生活中的最值问题例2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部

7、销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题解　(1)当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，所以W＝(2)①当00；当x∈(9,10]时，W′<0.所以当x＝9时，W取得最大值，即Wm

8、ax＝8.1×9－×93