2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.2双曲线方程及性质的应用高效测评新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.2双曲线方程及性质的应用高效测评新人教A版选修一、选择题(每小题5分，共20分)1．过点(0,1)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点的直线共有(　　)A．0条　　　　　　　　　B．2条C．4条D．6条解析：　由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1代入双曲线方程得(1－k2)x2－2kx－2＝0当1－k2＝0时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点．当1－k2≠0，Δ＝4k2－4(1－k2)×(－2)＝0.即k＝±时，方程组有一解，直线与双曲线仅有一个公共点．综上，有4条直线满足题意．答案：　C2．如图，ax－

2、y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)解析：　ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b，bx2＋ay2＝ab可化为＋＝1.若ab>0，则A中曲线错误，B中曲线不存在．若ab<0，则D中曲线错误，故选C.答案：　C3．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：＝＝＝，又AB的斜率是＝1

3、，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.答案：　B4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲

4、线的标准方程为－＝1.答案：　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．解析：　x2－(kx＋2)2＝6，(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．则得－

5、，得x1x2＋y1y2＝0，即1－(x1＋x2)＋2x1x2＝0，因此1＋＋2×＝0，化简得＝2，即－＝2.答案：　2三、解答题(每小题10分，共20分)7．直线y＝kx＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当k为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？解析：　把y＝kx＋1代入3x2－y2＝1，整理，得(3－k2)x2－2kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，要使直线与双曲线有两个交点，则需满足：k≠±，且Δ＝24－4k2＞0.由Δ＞0，解得－＜k＜，所以当－＜k＜，且k≠±时，一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点．若

6、A，B在双曲线的同一支上，须x1x2＝＞0，解得k＜－或k＞；若A，B分别在双曲线的两支上，须x1x2＝＜0，解得－＜k＜.所以，当－＜k＜－或＜k＜时，A，B两点在同一支上；当－＜k＜时，A，B两点在双曲线的两支上．8．经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．(1)求直线l的方程；(2)求线段AB的长．解析：　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1，两式相减得x－x－＝0，(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵M为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴4(x1－x2)－(

7、y1－y2)＝0，kl＝＝4，∴l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6.(2)将y＝4x－6代入到x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝，∴

8、AB

9、＝＝.9．(10分)已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围，使l与C有两个交点．(2)若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在．解析：　(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，与双曲线C只有一个交点．当l