sec09 倒格子和第一布里渊区

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1、思考：实空间描写晶体结构的其他概念•晶列，晶向指数•晶面，晶面指数(密勒指数)*晶列、晶面等，都是对晶格(不是原子)而言•晶体的宏观对称操作*平移对称性对宏观对称操作的一些限制*在宏观对称操作如转动、反演、镜面、螺旋、滑移等中，至少保持一个点、轴、面等保持不动10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区1本讲目的：晶体结构对称性的倒空间描写1.为什么要倒(动量)空间？2.晶格的平移周期性，在倒(动量)空间如何描写？10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brilloui

2、n区2第9讲、倒格子和第一Brillouin区1.晶格的Fourier变换2.倒格子3.正、倒格子对应的几何关系4.重要的例子5.第一Brillouin区10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区3为什么要倒(k)空间？10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区41、晶格的Fourier变换•一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写*坐标表象r，动量表象k•为什么选择不同的表象？为什么动量空间？*使容易处理！*衍射实验的理

3、论基础在量纲上，坐标空间和动量空间互为倒数，因此也把坐标和动量空间分别称为正、倒空间；其他也沿用这种称谓10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区5正(坐标)空间周期性倒(动量)空间•数学：(正)格子•观察：X射线衍射•观察：显微镜?•数学：倒格子rrrrrr数学变换rrk？10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区6坐标空间中用格矢(R)描写晶体结构的l平移周期性；那么，在动量空间呢？10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillo

4、uin区7V(r)VrRatoml只是一个数学变换l(r)rRatomll•势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量F(r)frRll•如果晶体具有平移周期性RlRmRn*则是Rl的周期函数F(rRl)F(r)iKhrF(r)FKe•因此可对其作Fourier展开hh•其中的F称为Fourier系数Kh*两边乘共轭因子eiKhr后积分，可得这个系数11F(r)eiKhrdrFeiKh'KhrdrKh'Vh'V1iKhrF(r)edr

5、FKh仅当Kh’=Kh时，这个V10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区积分不为零，且等于8VF(r)的平移周期性，F(r)=F(r+R)会对这个K有什么限制？•把F(r)=F(r+R)代入变换，就有lF1F(r)eiKhrdr1F(rR)eiKhrdrKhlVV•作变量替换，r’=r+R，就有lF1Fr)'(ei(Khr'KhRl)dr'KhV1Fr)'(eiKhr'dr'eiKhRlFeiKhRlVKhFeiKh

6、Rl•即K1()0hF0iKhRl2m,m整数Ke1KhRlh•即，如果实空间有平移周期性，那么Fourier空间一定在存在K矢量满足这个关系h10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区10k空间的这个K矢量有什么意义？h10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区11看格点的Fourier变换？•数学上可用一个什么函数来描写格点，几何点*δ函数！(r)rRlRl•这是周期函数，因此，可对其进行Fourier变换ik

7、rikrikRl(r)edrrRedreklRlRl•因为格点满足平移周期性，则必有Kh满足KR2mhleikKhRl•那么乘上不变因子kRl10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区12•利用Poisson求和公式，即可得eikKhRlkKkhRlKh•即当矢量K与R乘积是2π的整数倍时，在坐hl标空间R处的δ函数的Fourier变换为在动量空l间以K为中心的δ函数！h•这告诉了我们什么信息，K

8、对应什么？h*坐标空间里，δ(r-R)函数表示在R的格点，当满足ll上述条件时，其Fourier变换也是δ(k-K)函数，表h示坐标空间几何点的Fourier变换也是动量空间的几何点！*或者说前面K与R的关系定义了倒空间矢量，K的hlh量纲为R的倒数l10.107.0.68/~jgche/倒格子和第一Brillouin区13在正空间，格矢R端点(格点)的集合就l是格子；那么，矢量K端点的集合h呢？10.107.0.68/~jg