2019-2020年高二数学寒假作业试题理(三)

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1、2019-2020年高二数学寒假作业试题理(三)　一．填空题（共3小题）1．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为　　　　　　．　2．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　　　　　　．　3．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765），若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为　　　　　　．　　二．解答题（共3小题）4．设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2

2、﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．　5．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．　6．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与

3、C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若

4、AC

5、=

6、BD

7、，求直线l的斜率．　　1．昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为5，12，13，是直角三角形，∴面积为30，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆，面积为π×22=4π×，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为=．2．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ

8、=，∴tan2θ==，3．当首位是4时，只有1个结果43210当首位是5时，有C54=5种结果，5321054210543105432054321当首位是6时，有C64=15种结果，先从小到大列举出来：6321064210643106432064321652106531065320653216541065420654216543065431故第20个渐减数是654314．（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵

9、或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．5．（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG

10、⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，

11、GB

12、为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．6．（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2

13、的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且

14、AC

15、=

16、BD

17、，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k

18、=±，即直