2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用优化练习 新人教A版选修2-1

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1、2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用[课时作业][A组　基础巩固]1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1　　　　　　　B．m≥1或0m，则m≥1，若5b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为(　　)A．±1　　　B．±　　　C．±　　　D．±解析：因为椭圆的离心率为，所以有＝

2、，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.答案：C3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.解析：由题意知：F(－c,0)，A(a,0)，B.∵BF⊥x轴，∴＝.又∵＝2，∴＝2即e＝＝.答案：D4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)A．1B

3、．－1C．－D．以上都不对解析：由题意知的几何意义是椭圆上的点(x，y)与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线y＝k(x－2)与椭圆相切(切点在x轴上方)时，＝k最小．由整理得(4＋k2)x2－4k2x2＋4k2－4＝0.Δ＝(－4k2)2－4(4＋k2)(4k2－4)＝16(4－3k2)＝0，即k＝－(k＝舍去)时，符合题意．答案：C5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则

4、

5、＝(　　)A.B．2C.D．3解析：设点A(2，n)，B(x0，y0

6、)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.解得n2＝1，∴

7、

8、＝＝＝.故选A.答案：A6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，那么椭圆的方程是________．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a＝2c，又a－c＝，故c＝，a＝2，∴b2＝(2)2－3＝

9、9，椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝17．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，即r＝5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.答案：68．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，

10、

11、＝1，

12、且·＝0，则

13、

14、的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵·＝0，∴⊥.∴

15、

16、2＝

17、

18、2－

19、

20、2＝

21、

22、2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

23、

24、min＝2，∴

25、

26、min＝.答案：9．已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．解析：(1)∵2b＝2，c＝1，∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)联立方程组消去y并整理得7x2＋8mx＋4m

27、2－12＝0.若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，即m2＜7，解得－＜m＜.10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，∴A(0，－2)，B，∴S△AOB＝

28、OF

29、(

30、yB

31、＋

32、yA

33、)＝×1×＝.[B组　能力提升]1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左

34、，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若A·A2＝0，

35、A

36、＝

37、A2

38、，则椭圆的离心率为(　　)A.－B.－C.－1D.－1解析：在Rt△ABF2中，设

39、AF2

40、＝m，则

41、AB

42、＝m，

43、BF2

44、＝m，所以4a＝(2＋)m.又在Rt△AF1F2中，

45、AF1

46、＝2a－m＝m，

47、F1F2

48、＝2c，所以(2c)2＝2＋m2＝m2，则2c＝m.所以椭圆的离心率e＝＝＝－.答案：A2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点