2019-2020年高三上学期期末数学（理）试题 含解析

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1、一、填空题：1.记复数为虚数单位）的共轭复数为，已知，则▲.【答案】考点：复数的运算，共轭复数2.设全集，集合，则=▲.【答案】【解析】试题分析：考点：集合的交集与补集3.某校共有师生1600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为▲.【答案】75考点：分层抽样4.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是▲.【答案】【解析】试题分析：因为双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b,所以考点：双曲线的几何性质5.已知向量，则▲.【答案】1考点：向量的

2、数量积6.执行如图流程图，若输入，则输出的值为▲..【答案】考点：算法流程图7.设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则；其中正确命题的序号为▲.【答案】④考点：立体几何的判定和性质定理8.设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则向量的夹角为锐角的概率是________.【答案】考点：概率问题，向量的夹角9.设等比数列的前项和为，若则▲.【答案】448【解析】试题分析：由题意得，，所以考点：等比数列的性质，求和10.已知直线过点且与圆相交于两点，的面积为1，则直线的方程为▲

3、.【答案】，考点：直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式11.若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是▲.【答案】考点：正弦定理，角度范围的确定12.若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为▲.【答案】e【解析】试题分析：因为，所以，又因为时，，所以当时，，，当时，，；由函数为定义在上的奇函数得：当时，，，当时，，因此考点：函数的奇偶性，函数求导，函数单调性13.曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为▲.【答案】1考点：函数求导，构造函数及画新函数图像14.已知正数满足，则的最小值为▲.

4、【答案】25考点：基本不等式求最值二、解答题15.（本小题满分14分）已知的面积为，且.（1）求；（2）若,求.【答案】（1）（2）试题解析：（1）∵△的面积为，且，∴，……2分∴，……3分∴为锐角，且，……5分∴．……6分考点：三角形中的边角关系、向量的数量积运算，正弦定理，三角变换16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）若为中点，在棱上，且,求证：平面.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析考点：锥体体积、垂直的判定、平行的判定17

5、.（本小题满分15分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近.现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）.设小岛到的距离为，船到小岛的距离为.（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）.【答案】（1），（2）（2）；.……11分当，则时，即，取得最大值，……12分此时（百海里）.……13分答：当间距离海里时，搜救范围最大.……14分考点：余弦定理，三角恒等变换18.（本小题满分15分

6、）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值.【答案】（1）（2）（3）试题解析：（1）由题意：，则，（每个1分）……3分如，得，则直线斜率不存在，此时直线过点，下证动直线过定点.……9分（法一）若直线斜率存在，则，直线为，……11分令，得，综上，直线过定点.……12分考点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质19.（本小题满分16分）已知函数，实数满足，设.（1）当函数的定义域为时，求的值域；（2）求函数关系式，并

7、求函数的定义域；（3）求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）即可.（2）实数满足，则，则，……6分而，，故，，……7分由题意，，则，故，……8分又，即，故，当且仅当时取得等号，……9分综上：.……10分考点：二次函数、指数函数的单调性，基本不等式、导数的应用20.（本小题满分16分）已知数列中，，在之间插入1个数，在之间插入2个数，在之间插入3个数，…，在之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列.（1）若，求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且满足为常数），求的通项公式.【答案】（1）.（

8、2）（2）由（为常数），得，……①……7分当得：，……②当时，，……③①-③得，……8分则，……9分若，则，代入④式，得，不成立；……10分（法一）当，常数……④恒成立，又为正项等差数列，当时，不为常数，则得，……11分