2019-2020年高三12月综合练习（一）数学理试题

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1、2019-2020年高三12月综合练习（一）数学理试题一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集,集合,则为A．B．C．D．2．是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若，则下列各式正确的是A．B．C．D．4．在等差数列中，，且，则的最大值是A．B．C．D．5．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A．B．C．D．6．下列命题中，真命题是A．B．C

2、．D．7．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，∠=，则到轴的距离为A．B．C．D．8．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知则___________.10．函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为.12．正三角形边长为2，设，，则_____________.13．已知命题：是奇函数；。下列函数：①，②，③中能使都成立的是.（写出符合要求的所有函数的

3、序号）.14．集合，集合,，设集合是所有的并集，则的面积为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？ 16．（本小题满分13分）已知数列的前项和为,数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.   17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直，分别是的中点，，，.（1）求证：//平面；（2）若点在线

4、段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论；（3）求二面角的平面角的余弦值.         18.（本小题满分13分）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且。若直线的斜率之和为0，求证：为定值.   19.（本小题满分13分）已知函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）对,不等式恒成立，求的取值范围．   20．（本小题满分14分）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或

5、，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.（1）若，求；（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②,并验证满足这两个条件. 北京市东城区普通高中示范校xx届高三综合练习（一）数学试卷（理科）参考答案 题号12345678答案CACCBDBD9.110.11.12.13.①②14.15.解：(1)===…………………6分最小正周期单调递增

6、区间，………………9分(2)向左平移个单位；向下平移个单位………………13分16．解（1）………………4分++3，++3，两式作差：3-=2………………………10分(2)=…………………………13分17．解：（1）分别是的中点//又平面//平面…………………………3分(2)在中，//,平面平面，平面，平面平面平面所以无论在的何处，都有………………………8分(3)由（2）平面又平面是二面角的平面角在中所以二面角的平面角的余弦值为…………………14分法二：（2）是的中点，又平面平面平面同理可得平面在平

7、面内，过作以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，设，则，恒成立，所以无论在的何处，都有（3）由（2）知平面的法向量为=设平面的法向量为则，即令，则，所以二面角的平面角的余弦值为………………………14分18．解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得，．故椭圆的方程为．（方法2、待定系数法）………………………4分（2）设，，由：，，两式相减，得到所以，即，…………………9分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以…………………………13分方法2：设直线：

8、，代入椭圆，得到，化简得以下同。………………………13分19．解：（1）…………………2分当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。……………8分（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（Ⅰ）可知，当时，在单调递增，则，成立，故<。当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。当，在上单调递减，上单调递增，则，即，。综上所述，。……………13分法二、当时，；当时，由