第七章相平面法2010

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1、7.6相平面法一、相平面的基本概念二、相轨迹的绘制三、由相轨迹求系统的瞬态响应四、奇点与极限环五、非线性系统的相平面分析解决两个问题：1.什么是相轨迹？2.相轨迹的几个重要性质。一、相轨迹的基本概念相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：设:则:（一）相轨迹的基本概念定义：为状态变量。我们将构成的直角平面叫做相平面。相

2、平面、相轨迹、相平面图在相平面上表示系统运动状态的点　　　随时间移动所形成的轨迹，称作相轨迹。以各种可能的初始条件为起点，所得到的相轨迹族，叫相平面图。设描述二阶系统的微分方程为：将其写成通过表示的相轨迹方程为其中A为由初始条件决定的常数。由相轨迹过程求得相应的相平面图为一族椭圆。例：1）.相轨迹上的每一点都有其确定的斜率（二）、相轨迹的几个重要性质只要不同时满足，则斜率是唯一确定的，从而通过该点只有一条相轨迹。则相轨迹上的每一点的斜率为：相轨迹的斜率方程2）.相轨迹的奇点：相轨迹上斜率不确定的点，也即：由微分方程式

3、解的唯一性定理可知，对于每一个给定的初始条件，只有一条相轨迹。所以，从不同初始条件出发的相轨迹是不会相交的。，则斜率是不确定值的，从而通过该点不止一条相轨迹。此时，系统处于静止状态，故为系统的平衡状态点，也叫相平面的奇点。（二）、相轨迹的几个重要性质4）.相轨迹的运动方向上半平面，，为x增大方向，运动方向从左向右。下半平面，，为x减小方向，运动方向从右向左。3）.相轨迹正交与x轴因为在x轴上的所有点，其总等于零，所以除去其中的奇点外，在这些点上的斜率，这表示相轨迹与相平面的横轴x是正交的。（二）、相轨迹的几个重要性质

4、绘制相轨迹的方法有两个：1.解析法2.等倾线法等倾线法的基本思想是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。二、相轨迹的绘制1.等倾线：是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。设斜率为α，则：2.等倾线方程：由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为α。取不同的α时，可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为α的短直线以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。二、相轨迹的绘制—等倾线法等倾线示

5、意图例绘制下列系统的相轨迹解：系统方程可以改写为令相轨迹斜率为α，代入上式得到相轨迹的等倾线方程：可见，等倾线是通过原点的直线簇，等倾线的斜率等于-ω2/(2ξω+α)，而α则是在相轨迹通过等倾线处的斜率。等倾线与相轨迹设系统参数ξ=0.5，ω＝1。求得对应于不同α值的等倾线用等倾线法相轨迹绘制相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。因为x=dx/dt，所以.通过

6、积分可得：三、由相轨迹求系统的瞬态响应可通过以下方法求出时间信息：当然，对于无解析解的情况，也可以通过选取合理的增量，变成下式求出时间：式中,为对应Δx范围内的x平均值。.（一）线性系统的相轨迹（二）奇点类型（三）极限环四、奇点与极限环线性一阶系统的相轨迹描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：相轨迹方程为：设系统初始条件为：（一）线性系统的相轨迹线性一阶系统的相轨迹可见，相轨迹位于过原点，斜率为-1/T的直线上。当T>0时，相轨迹该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散至无穷。线性二阶系统的相轨迹描述线性二阶

7、系统自由运动的微分方程为：线性二阶系统的特征根为：相轨迹方程为：并令：等倾线方程为：k为等倾线的斜率1.ξ=0系统有两个共轭的纯虚根用解析法可得系统的相轨迹方程为：系统为等幅振荡运动状态，其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线，这种奇点称为中心点。2.0<ξ<1系统特征根为具有负实部的一对共轭复根其相轨迹呈螺旋线型，轨迹簇收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。系统稳定。等倾线方程为：3.-1<ξ<0当－1＜ξ＜0时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺旋线型，但轨迹簇发散至无穷，这种奇点称为不稳定焦点。4.ξ

8、>1系统有两个负实根。系统的零输入响应为非振荡衰减开式，存在两条特殊的相轨迹。相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点，系统稳定。等倾线方程为：5.ξ=1相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统稳定。系统有两个负实根，并有：6.ξ<=-1当ξ＜－1时，系统有两个正实