2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版

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1、2.3　数学归纳法学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思

2、考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?[提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中，正确的是(　　)A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋C　[A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k

3、＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.]2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．[答案]　23．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.　　　　　[分别将1,2,3,4代入得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得Sn＝.]用数学归纳法证明等式【例1】　(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为_____

4、___．(2)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．(1)2(2k＋1)　[令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．](2)证明：①当n＝1时，＝成立．②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n

5、＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.1．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．[证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，所以等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．那么当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，对于任意n∈N*，等式都成立.归纳—猜想—证明【例2】　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果

6、，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．[解]　S1＝＝；S2＝＋＝；S3＝＋＝；S4＝＋＝.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝.下面用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立．(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式，求通项或前

7、n项和．②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．[解]　由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝，当